Whatsapp icon Whatsapp

Subconjuntos e relação de inclusão

Os subconjuntos apresentam todos os seus elementos incluídos em outro conjunto. Por esse motivo, a relação entre eles e o outro conjunto é de inclusão.
O conjunto dos números naturais é um exemplo de subconjunto, pois está contido no conjunto dos números reais
O conjunto dos números naturais é um exemplo de subconjunto, pois está contido no conjunto dos números reais

Um conjunto é uma reunião de objetos que possuem características comuns. Dessa forma, conjuntos numéricos são aqueles cujos elementos são números. Os subconjuntos também são conjuntos, entretanto, caracterizam-se por estar totalmente incluídos em outro conjunto qualquer. Em razão disso, a relação entre um conjunto e os seus subconjuntos é conhecida como relação de inclusão.

Exemplo de conjunto e subconjuntos

A seguir, observe exemplos de conjuntos numéricos e de alguns subconjuntos existentes neles.

O conjunto dos números naturais é formado pelo zero e por todos os números inteiros positivos. Sendo assim, podemos escrever os elementos do conjunto dos números naturais da seguinte maneira:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}

O conjunto dos números pares não negativos P é um subconjunto dos números naturais, pois todos os seus elementos também pertencem a ele.

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …}

O conjunto dos números naturais ímpares não negativos também é subconjunto dos números naturais, pois todos os seus elementos pertencem a ele.

Definição de subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se todos os elementos de B também forem elementos de A. Nesse caso, temos:

Podemos ler essa definição da seguinte maneira: B é subconjunto de A se, e somente se, para todo x, se x pertence ao conjunto A, então x pertence ao conjunto B.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

A primeira parte também pode ser lida como B está contido em A. Note que a relação entre esses dois conjuntos é de inclusão, portanto, um conjunto Z pode conter ou não conter um conjunto Z’ ou o conjunto Z’ pode estar contido ou não estar contido no conjunto Z.

Quando a relação é definida para elementos, deveremos usar outra relação, chamada de relação de pertinência: o elemento x pertence ou não pertence ao conjunto Z.

Relação de inclusão

Observe os símbolos abaixo e, logo em seguida, seus significados:

O símbolo 1 é chamado de sinal de inclusão. A relação de inclusão, como dito anteriormente, só existe entre conjuntos. Entre um elemento e um conjunto, a relação usada deve ser é a de pertinência.

O símbolo 2 é o sinal de inclusão cortado. Ele é usado quando um conjunto não está contido em outro.

O símbolo 3 é o sinal de inclusão invertido. O conjunto à sua direita contém o conjunto à sua esquerda.

O símbolo 4 é sinal de inclusão invertido e cortado. O conjunto à sua direita não contém o conjunto à sua esquerda.

Todo conjunto tem dois subconjuntos triviais: o próprio conjunto e o conjunto vazio.

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos Relacionados

Diagramas de Venn
Aprenda o que é o diagrama de Venn. Saiba como representar conjuntos e realizar operações utilizando esse instrumento.
Diagrama de Venn
Teoria dos conjuntos
Entenda o que é a teoria dos conjuntos e aprenda a realizar operações entre eles. Conheça também os principais tipos de conjuntos e as suas propriedades.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Sigmund Freud
Filosofia
Sigmund Freud
Nessa videoaula você conhecerá mais sobre a vida e estudos do "pai" da psicanálise.
video icon
Thumb Brasil Escola
Literatura
Realismo fantástico
Trazemos uma análise sobre realismo fantástico. Assista já!
video icon
Thumb Brasil Escola
Química
Funções orgânicas
Tire um tempo para entender melhor o que são as amidas