Teorema fundamental da semelhança

Dois triângulos são semelhantes quando seus lados correspondentes são proporcionais e seus ângulos, em ordem, são congruentes.

Assim como no caso da congruência de triângulos, existem casos de semelhança de triângulos, os quais reduzem o trabalho de verificar se os triângulos são semelhantes a verificar apenas a congruência de um ou dois ângulos e a proporcionalidade entre dois ou três lados. Os casos de semelhança de triângulos são: ângulo – ângulo, Lado – lado – lado e Lado – ângulo – Lado.

O teorema fundamental da semelhança também é conhecido como “teorema de Tales nos triângulos”. Para compreender esse teorema é bom relembrar primeiro o teorema de Tales, que diz o seguinte:

Um feixe de retas paralelas, intersectadas por duas retas transversais quaisquer, determina segmentos de retas proporcionais como no exemplo:

Nesse exemplo, valem as seguintes proporcionalidades:

MN = MO = NO, além de: MO = RP ou MO = RP
  RQ    RP    QP                MN    RQ      NO    QP  

O teorema fundamental da semelhança, por sua vez é observado em triângulos, diz o seguinte:

Dado o triângulo ABC e a reta r. Se a reta r intersecta os lados AB e AC, nos pontos D e E desse triângulo, paralelamente ao lado BC, então os triângulos ABC e ADE são semelhantes.

Esses dois triângulos são semelhantes porque é possível mostrar que o caso “Lado ângulo lado” de semelhança se configura neles. Para isso, basta observar:

1- O ângulo do vértice A é comum aos dois triângulos;

2- Os seguimentos AD e AB são proporcionais aos segmentos AE e AC, devido ao teorema de Tales.

As proporcionalidades observadas são:

AD = AE = DE
AB    AC    BC

Exemplo 1:

1- Sabendo que DE é paralelo a BC, descubra o valor de “h”:

Em decorrência de DE ser paralelo à BC, pelo teorema fundamental da semelhança, pode-se escrever o seguinte:

AD = DE
AB    BC

  2,11  = 3
h+2,11   6

2,11 · 6 = 3 · (h+2,11)

12,66 = 3h + 6,33

3h = 12,66 – 6,33

3h = 6,33

h = 6,33
     3

h = 2,11

Exemplo 2:

Um quadrado DEFG foi inscrito em um triângulo ABC. Sendo BC = 32 cm e a altura relativa a essa base igual a 24 cm, calcule o lado do quadrado.

Como DEFG é um quadrado, então o lado DE é paralelo ao lado GF e, por consequência, DE é paralelo à BC, que é a base do triângulo. Isso configura o teorema fundamental da semelhança.

Digamos que o lado do quadrado tem medida igual a X. A parte da altura do triângulo que sobra da altura do quadrado é igual a 16 – X. Isso acontece por que a altura é 16 cm. Tendo essas medidas em mãos, basta fazer a relação de proporcionalidade:

16 – X = X
          16      32      

32 · (16 – X) = 16 · X

512 – 32X = 16X

– 32X – 16X = - 512

48X = 512

X = 10,6 cm