Trigonometria no Triângulo Qualquer

Os problemas envolvendo trigonometria são resolvidos através da comparação com triângulos retângulos. Mas no cotidiano geralmente não encontramos tamanha facilidade, algumas situações envolvem triângulos acutângulos ou triângulos obtusângulos. Nesses casos necessitamos do auxílio da lei dos senos ou dos cossenos.

Lei dos senos

A lei dos senos estabelece relações entre as medidas dos lados com os senos dos ângulos opostos aos lados. Observe:

Exemplo 1

No triângulo a seguir, determine o valor dos segmentos x e y.

Aplicando a lei dos senos, temos:

Lei dos cossenos

Nos casos em que não podemos aplicar a lei dos senos, temos o recurso da lei dos cossenos. Ela nos permite trabalhar com a medida de dois segmentos e a medida de um ângulo. Dessa forma, se dado um triângulo ABC de lados medindo a, b e c, temos:

a² = b² + c² - 2 * b * c * cos A
b² = a² + c² - 2 * a * c * cos B
c² = a² + b² - 2 * a * b * cos C

Exemplo 2

Determine o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir:

x² = 6² + 8² - 2 * 6 * 8 * cos 60º
x² = 36 + 64 – 96 * 1/2
x² = 100 – 48
x² = 52
√x² = √52
x = 2√13

Exemplo 3

Em um triângulo, os lados de medidas 6√3 cm e 8 cm formam um ângulo de 30º. Determine a medida do terceiro lado.

De acordo com a situação, o lado a ser determinado é oposto ao ângulo de 30º. Dessa forma, aplicamos a fórmula da lei dos cossenos da seguinte maneira:

x² = (6√3)² + 8² - 2 * 6√3 * 8 * cos 30º
x² = 36 * 3 + 64 – 2 * 6√3 * 8 * √3/2
x² = 108 + 64 – 96 * √3 * √3/2
x² = 172 – 48 * 3
x² = 172 – 144
x² = 28
x = 2√7 cm