6ºcaso de fatoração: Soma de dois cubos
O sexto caso de fatoração é a fatoração de uma expressão algébrica composta por dois monômios (seja um binômio) e entre eles há a operação de adição, esses dois monômios são elevados ao cubo (elevados à terceira potência).
Veja a demonstração de como foi encontrado esse caso de fatoração:
Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos os dois obteremos x + y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números teremos x2 - xy + y2, agora devemos multiplicar as duas expressões encontradas.
(x + y) (x2 - xy + y2) utilize a propriedade distributiva;
x3 - x2y + xy2 + x2y –xy2 + y3 una os termos semelhantes;
x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão elevados ao cubo e somados.
Assim, podemos concluir que x3 + y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde
x e y poderão assumir qualquer valor real.
A forma fatorada de x3 + y3 será (x + y) (x2 - xy + y2).
Veja alguns exemplos:
Exemplo1:
27x3 + 1000 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:
(3x)3 + 103, assim: x = 3x e y = 10
Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições.
(x + y) (x2 - xy + y2)
(3x + 10) ((3x)2 – 3x . 10 + 102)
(3x + 10) (9x2 – 30x + 100)
Portanto, a fatoração de 27x3 + 1000 será (3x + 10) (9x2 – 30x + 100).
Exemplo 2:
x3 + 1 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:
(x)3 + 13 assim: x = x e y = 1
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.
(x + y) (x2 - xy + y2)
(x + 1) ((x)2 –x .1 + 12)
(x – 1) (x2 –x + 1)
Exemplo 3:
8x3 + y3 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:
(2x)3 + y3 assim: x = 2x e y = y
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.
(x + y) (x2 - xy + y2)
(2x + y) ((2x)2 – 2xy + y2)
(2x + y) (4x2 – 2xy + y2)
Publicado por Danielle de Miranda
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