Apótema
O apótema é o segmento de reta que parte do centro do polígono e encontra um de seus lados, de forma perpendicular. Para cada figura regular, temos uma fórmula diferente para calcular o apótema. Também existe o apótema da pirâmide, que é o segmento de reta que passa pelo vértice da pirâmide e se encontra com o lado da base da pirâmide de forma perpendicular.
Leia também: O que são poliedros regulares?
Resumo sobre apótema
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O apótema de um polígono regular é o segmento de reta que parte do seu centro e vai até um de seus lados de forma perpendicular.
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Cada polígono regular possui uma fórmula específica para o cálculo do apótema, e os principais são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono.
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O apótema do triângulo equilátero é igual a um terço da altura do triângulo e é calculado por:
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O apótema do quadrado é igual à metade da medida do seu lado, logo o apótema do quadrado é calculado por:
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O apótema do hexágono regular é calculado pela fórmula:
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O apótema de uma pirâmide é o segmento que liga o vértice da pirâmide até o lado da base da pirâmide de forma perpendicular.
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Para calcular o apótema de uma pirâmide, utilizamos o teorema de Pitágoras. Sendo x o apótema da base da pirâmide e h a sua altura, o apótema da pirâmide é calculado por:
Exemplo de apótema
Existem dois casos diferentes de apótema: apótema de um polígono regular e apótema de uma pirâmide. Veremos os dois casos a seguir.
→ Exemplos de apótema de um polígono regular
O apótema de um polígono regular é o segmento de reta que liga o centro desse polígono até qualquer um de seus lados, de forma perpendicular, ou seja, formando um ângulo de 90°. Lembrando que polígonos são figuras planas formadas por segmentos de reta que não se cruzam e que polígonos são ditos regulares quando seus lados e, consequentemente, seus ângulos têm a mesma medida.
Os principais polígonos regulares são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono. Veja o apótema de cada um deles:
→ Exemplo de apótema de uma pirâmide
O apótema da pirâmide é a altura da face da pirâmide, ou seja, é o segmento que liga o vértice da pirâmide até um dos lados da sua base.
Fórmulas do apótema
Para cada figura regular, temos uma fórmula diferente para calcular o apótema. Os principais polígonos regulares são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono.
→ Fórmula do apótema de um triângulo equilátero
Para calcular o apótema de um triângulo equilátero, o triângulo que possui todos os lados congruentes, primeiramente encontraremos a circunferência inscrita no triângulo equilátero:
O apótema do triângulo equilátero é igual ao raio dessa circunferência inscrita:
Quando traçamos a altura do triângulo equilátero, podemos perceber que a altura da circunferência inscrita é igual a 3 vezes o apótema do triângulo equilátero, logo o apótema é igual a
Então, temos que:
Mas a altura h do triângulo equilátero possui fórmula específica para ser calculada, pois:
Logo, substituindo h pelo valor da fórmula, podemos afirmar que:
Tendo esses aspectos em vista, a fórmula para calcular o apótema do triângulo é:
→ Fórmula do apótema do quadrado
Para calcular o apótema do quadrado, o polígono regular de quatro lados, encontraremos a circunferência inscrita nesse polígono:
O apótema é igual ao raio dessa circunferência, que possui valor igual à metade da medida do lado do quadrado. Logo, para calcular o valor do apótema de um quadrado, basta dividir a metade do lado por dois:
→ Fórmula do apótema do hexágono
O apótema do hexágono, o polígono regular de seis lados, é igual ao raio da circunferência inscrita no polígono.
Acontece que quando traçamos as diagonais do hexágono, podemos dividir ele em 6 triângulos, e todos são equiláteros. Sabendo que esses triângulos são equiláteros, podemos perceber que o apótema é igual à altura do triângulo. Logo, para calcular a medida do apótema do hexágono, basta calcularmos a medida da altura de um dos triângulos equiláteros que o compõem, pela fórmula:
Veja também: Quais os elementos do polígono regular inscrito?
Apótema da pirâmide
Diferentemente dos polígonos, a pirâmide é um sólido geométrico, ou seja, uma figura tridimensional. O conceito de apótema da pirâmide é um pouco diferente do de um polígono, pois na pirâmide, o sólido geométrico que possui como elementos principais sua base poligonal e seu vértice, o apótema é o segmento de reta que passa pelo vértice da pirâmide e se encontra com o lado da base da pirâmide de forma perpendicular.
Para calcular o comprimento do apótema de uma pirâmide, é necessário aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelo apótema da base, pela altura da pirâmide e pelo apótema da pirâmide.
Aplicando o teorema de Pitágoras para calcular o apótema da pirâmide, temos que:
Como calcular o apótema?
Para calcular o apótema, seja ele dos polígonos regulares ou da pirâmide, basta substituir na fórmula pelos valores conhecidos.
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Exemplo 1:
Calcule o apótema de um triângulo equilátero de lados medindo 15 cm.
Resolução:
Calculando o apótema do triângulo equilátero:
Simplificando a fração:
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Exemplo 2:
Qual é o apótema de um quadrado cujo lado mede 8 cm?
Resolução:
O apótema do quadrado é igual à metade da medida do seu lado:
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Exemplo 3:
Qual é a medida do apótema de um hexágono regular com lados medindo 6 cm?
Resolução:
Calculando o apótema do hexágono:
Exercícios resolvidos sobre apótema
Questão 1
Uma pirâmide possui base quadrada com lado medindo 10 cm. Além disso, sua altura é de 12 cm. Então, a medida do apótema da pirâmide é igual a:
A) 12 cm
B) 13 cm
C) 14 cm
D) 15 cm
E) 16 cm
Resolução:
Alternativa B.
Para encontrar o apótema da pirâmide, primeiramente encontramos o apótema da sua base. Como a base é um quadrado de lado medindo 10 cm, o apótema da base é de 5 cm, ou seja ab = 5. Também temos que h = 12. Aplicando o teorema de Pitágoras:
Questão 2
Se um triângulo equilátero possui apótema medindo 8 cm, então a medida do lado desse triângulo é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
Resolução:
Alternativa C.
Sabemos que o apótema de um triângulo equilátero é igual a:
Como o apótema é igual a 8:
Racionalizando: