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Pirâmide

A pirâmide é um sólido geométrico que possui a base formada por um polígono e faces laterais triangulares que se encontram em um único ponto, conhecido como vértice.
Ilustração de seis diferentes tipos de pirâmide.
A pirâmide é um sólido geométrico formado pela base e pelo vértice.

A pirâmide é um sólido geométrico estudado na Geometria Espacial que possui como elementos principais a sua base e o seu vértice. A base da pirâmide pode ser formada por qualquer polígono (triângulo, quadrilátero, pentágono, hexágono, entre outros), e é essa base que nomeia a pirâmide.

Por sua vez, as faces laterais da pirâmide que ligam a base ao vértice (o ponto de encontro dessas áreas laterais) são sempre formadas pelo polígono do tipo triângulo. Pelo fato de suas faces laterais serem polígonos, isso classifica a pirâmide como poliedro.

O formato de pirâmide é muito presente no nosso dia a dia. Ele está nas pirâmides egípcias, e também é possível de ver esse formato em outros lugares na natureza, como na geometria de moléculas estudadas na Química.

Leia também: Cone — um sólido geométrico classificado como corpo redondo

Resumo sobre pirâmide

  • A pirâmide é um sólido geométrico que possui base poligonal e faces laterais triangulares que se encontram em um ponto conhecido como vértice.

  • As faces laterais da pirâmide são sempre triangulares. Como todas as faces da pirâmide são polígonos, ela pode ser classificada como um poliedro.

  • Existem diferentes tipos de pirâmide, como de base triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, entre outras.

  • A pirâmide pode ser classificada como reta se a altura for o segmento que sai do centro do polígono da base até o vértice ou oblíqua caso contrário.

  • A área lateral depende do polígono que forma a base da pirâmide. Se ele não for regular, é preciso calcular a área de cada triângulo e somar. Se ele for regular, utiliza-se a fórmula:

\(A_l=n\cdot\frac{b\cdot a}{2}\)

  • A área da base da pirâmide também depende do polígono que a forma, pois o cálculo da área desse polígono é o cálculo da área da base.

  • A área total é a soma da área lateral com a área da base da pirâmide:

\(A_T=A_l+A_b\)

  • Para calcular o volume da pirâmide, multiplicamos a área da base pela altura e dividimos por 3:

\(V=\frac{A_b\cdot h}{3}\)

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O que é pirâmide?

Dado um polígono pertencente a um plano que chamamos de base e um ponto V, a pirâmide é o sólido geométrico formado pela união desse polígono e das arestas que ligam os vértices do polígono a esse ponto V. As faces laterais da pirâmide são sempre triangulares. Como todas as faces da pirâmide são polígonos, então ela pode ser classificada como um poliedro.

Pirâmide de base hexagonal e vértice V.
Pirâmide de base hexagonal e vértice V.

Elementos da pirâmide

A pirâmide é composta pela sua base, o seu vértice, as suas faces laterais e suas arestas, tanto da base quanto laterais. Outro elemento importante da pirâmide é a altura, que é o segmento que liga o vértice até o plano da base da pirâmide, de forma perpendicular.

Elementos da pirâmide.
Elementos da pirâmide.
  • Base: é o polígono que está na parte de baixo da pirâmide. O caso representado na imagem acima pelo hexágono ABCDEF é a base da pirâmide.

  • Vértice: é o ponto V na parte superior da pirâmide.

  • Altura: é o segmento de reta que sai do vértice e é perpendicular à base da pirâmide, representado na imagem acima por \(\overline{VH}\).

  • Aresta da base: são segmentos de reta que formam o lado do polígono que compõe a base da pirâmide.

  • Arestas laterais: são os segmentos de reta que ligam o vértice do polígono da base ao vértice da pirâmide.

  • Faces laterais: são as faces em formato de triângulos formados pela ligação entre a aresta da base e duas arestas laterais. 

  • Apótema da pirâmide: é a altura do triângulo que forma a face lateral da pirâmide, representado pelo segmento de reta \( \overline{VP}\) na imagem.

  • Apótema da base: é o segmento que parte do centro do polígono da base até um de seus lados formando um ângulo de 90°, representado na imagem por \(\overline{HP}\).

Importante: Uma relação importante na pirâmide é a relação pitagórica que existe entre o apótema da base, o apótema da pirâmide e a altura da pirâmide. Veja a seguir:

Relação pitagórica entre o apótema da base, o apótema da pirâmide e a altura da pirâmide.

Por ser uma relação pitagórica, a fórmula utilizada para calcular essa relação é a fórmula do teorema de Pitágoras:

\(a^2=a_b^2+h^2\)

Tipos de pirâmide

Existem vários tipos diferentes de pirâmide, pois ela é nomeada de acordo com o sólido geométrico que compõe a sua base. Logo, podemos ter pirâmide triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, entre outras.

Ilustração de três pirâmides: pirâmide triangular, pirâmide hexagonal e pirâmide quadrangular.
 Pirâmide triangular, pirâmide hexagonal e pirâmide quadrangular, respectivamente.

Podemos dividir as pirâmides em dois grupos, dependendo do seu formato.

  • Pirâmide reta: se a projeção do vértice da pirâmide na sua base coincide com o centro do polígono que forma a base da pirâmide, trata-se de uma pirâmide reta.

  • Pirâmide oblíqua: se a projeção do vértice da pirâmide não coincide com o centro do polígono que forma a base, essa pirâmide é oblíqua.

Representação de uma pirâmide reta e de uma pirâmide oblíqua.
Pirâmide reta e pirâmide oblíqua, respectivamente.

Fórmulas da pirâmide

Área lateral da pirâmide

A área lateral depende do polígono que forma a base da pirâmide. Isso porque para calcular a área lateral da pirâmide é importante conhecermos a medida do apótema da pirâmide a, pois a área lateral da pirâmide é formada por triângulos de altura a, e o lado depende do polígono que forma a base da pirâmide.

  • Polígono não regular: quando ele não é um polígono regular, ou seja, com todos os lados iguais, é necessário realizar o cálculo da área de cada triângulo e somar para obter a área lateral.

  • Polígono regular: quando o polígono da base é regular, ou seja, possui todos os lados com a mesma medida, então a área lateral pode ser calculada por:

\(A_l=n\cdot\frac{b\cdot a}{2}\)

Área da base da pirâmide

A área da base também depende do polígono que forma a base da pirâmide. Como vimos, a pirâmide pode ter qualquer polígono em sua base. Por exemplo, se a base for um quadrado, então a área da base da pirâmide será igual à área do quadrado, que é l². Se a base for um retângulo, multiplicamos o comprimento pela largura e encontramos a área da base. Logo, para calcular a área da base, é importante conhecermos bem as fórmulas para calcular a área dos principais polígonos.

Área total da pirâmide

A área total da pirâmide é igual à soma da área lateral com a área da base:

\(A_T=A_b+A_l\)

Volume da pirâmide

O volume da pirâmide é o produto entre a área da base e da altura divido por três:

\(V=\frac{A_b\cdot h}{3}\)

Saiba mais: Tronco de pirâmide — um sólido geométrico formado por meio de uma secção transversal em uma pirâmide

Exercícios resolvidos sobre pirâmide

Questão 1

Um objeto em forma de pirâmide possui base retangular com lados medindo 4,5 cm e 5,0 cm. Se essa pirâmide possui 8 cm de altura, então o volume desse objeto é:

A) 85 cm³

B) 60 cm³

C) 55 cm³

D) 20 cm³

E) 15 cm³

Resolução:

Alternativa B

Sabemos que o volume da pirâmide é calculado pela fórmula:

\(V=\frac{A_b\cdot h}{3}\)

Como a base é um retângulo, para calcular a área da base, multiplicaremos suas dimensões, ou seja:

\(A_b=4,5\cdot5=22,5\ cm^2\)

Então, o volume será igual a:

\(V=\frac{22,5\cdot8}{3}\)

\(V=\frac{180}{3}\)

\(V=60\ cm^3\)

Questão 2

Analise a pirâmide reta a seguir:

Ilustração de uma pirâmide reta que possui 12 cm de altura e lado da base medindo 10 cm.

Sabendo que a sua base é formada por um quadrado, a área total dessa pirâmide é de:

A) 100 cm²

B) 120 cm²

C) 210 cm²

D) 260 cm²

E) 360 cm²

Resolução:

Alternativa E

Para calcular a área total da pirâmide, é necessário calcularmos a área da base e a área lateral da pirâmide e somar. Calculando a área da base, que é um quadrado, temos que:

\(A_b=l^2\)

\(A_b={10}^2\)

\(A_b=100\ cm^2\)

Agora, encontraremos o apótema da pirâmide para calcular a área lateral. Como a pirâmide é reta, e a base é um quadrado, o apótema da base vai ser a metade da aresta do quadrado, ou seja, 10 : 2 = 5. Pela relação pitagórica, temos que:

\(a^2=a_b^2+h^2\)

Sabemos que \(a_b=5\) e \(h=12\):

\(a^2=5^2+{12}^2\)

\(a^2=25+144\)

\(a^2=169\)

\(a=\sqrt{169}\)

\(a=13\)

Sabemos que a área lateral é formada por 4 faces triangulares, a altura da face lateral é 13, e a base do triângulo que forma a face lateral mede 10, logo temos que:

\(A_l=4\cdot\frac{10\cdot13}{2}\)

\(A_l=4\cdot\frac{130}{2}\)

\(A_l=4\cdot65\)

\(A_l=260\ cm^2\)

Então, a área total dessa pirâmide é igual a:

\(A_T=100+260=360\ cm^2\)

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
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