Pirâmide

A pirâmide é um sólido geométrico estudado na Geometria Espacial que possui como elementos principais a sua base e o seu vértice. A base da pirâmide pode ser formada por qualquer polígono (triângulo, quadrilátero, pentágono, hexágono, entre outros), e é essa base que nomeia a pirâmide.

Por sua vez, as faces laterais da pirâmide que ligam a base ao vértice (o ponto de encontro dessas áreas laterais) são sempre formadas pelo polígono do tipo triângulo. Pelo fato de suas faces laterais serem polígonos, isso classifica a pirâmide como poliedro.

O formato de pirâmide é muito presente no nosso dia a dia. Ele está nas pirâmides egípcias, e também é possível de ver esse formato em outros lugares na natureza, como na geometria de moléculas estudadas na Química.

Leia também: Cone — um sólido geométrico classificado como corpo redondo

Resumo sobre pirâmide

• A pirâmide é um sólido geométrico que possui base poligonal e faces laterais triangulares que se encontram em um ponto conhecido como vértice.

• As faces laterais da pirâmide são sempre triangulares. Como todas as faces da pirâmide são polígonos, ela pode ser classificada como um poliedro.

• Existem diferentes tipos de pirâmide, como de base triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, entre outras.

• A pirâmide pode ser classificada como reta se a altura for o segmento que sai do centro do polígono da base até o vértice ou oblíqua caso contrário.

• A área lateral depende do polígono que forma a base da pirâmide. Se ele não for regular, é preciso calcular a área de cada triângulo e somar. Se ele for regular, utiliza-se a fórmula:

\(A_l=n\cdot\frac{b\cdot a}{2}\)

• A área da base da pirâmide também depende do polígono que a forma, pois o cálculo da área desse polígono é o cálculo da área da base.

• A área total é a soma da área lateral com a área da base da pirâmide:

\(A_T=A_l+A_b\)

• Para calcular o volume da pirâmide, multiplicamos a área da base pela altura e dividimos por 3:

\(V=\frac{A_b\cdot h}{3}\)

O que é pirâmide?

Dado um polígono pertencente a um plano que chamamos de base e um ponto V, a pirâmide é o sólido geométrico formado pela união desse polígono e das arestas que ligam os vértices do polígono a esse ponto V. As faces laterais da pirâmide são sempre triangulares. Como todas as faces da pirâmide são polígonos, então ela pode ser classificada como um poliedro.

Elementos da pirâmide

A pirâmide é composta pela sua base, o seu vértice, as suas faces laterais e suas arestas, tanto da base quanto laterais. Outro elemento importante da pirâmide é a altura, que é o segmento que liga o vértice até o plano da base da pirâmide, de forma perpendicular.

• Base: é o polígono que está na parte de baixo da pirâmide. O caso representado na imagem acima pelo hexágono ABCDEF é a base da pirâmide.

• Vértice: é o ponto V na parte superior da pirâmide.

• Altura: é o segmento de reta que sai do vértice e é perpendicular à base da pirâmide, representado na imagem acima por \(\overline{VH}\).

• Aresta da base: são segmentos de reta que formam o lado do polígono que compõe a base da pirâmide.

• Arestas laterais: são os segmentos de reta que ligam o vértice do polígono da base ao vértice da pirâmide.

• Faces laterais: são as faces em formato de triângulos formados pela ligação entre a aresta da base e duas arestas laterais. 

• Apótema da pirâmide: é a altura do triângulo que forma a face lateral da pirâmide, representado pelo segmento de reta \( \overline{VP}\) na imagem.

• Apótema da base: é o segmento que parte do centro do polígono da base até um de seus lados formando um ângulo de 90°, representado na imagem por \(\overline{HP}\).

Importante: Uma relação importante na pirâmide é a relação pitagórica que existe entre o apótema da base, o apótema da pirâmide e a altura da pirâmide. Veja a seguir:

Por ser uma relação pitagórica, a fórmula utilizada para calcular essa relação é a fórmula do teorema de Pitágoras:

\(a^2=a_b^2+h^2\)

Tipos de pirâmide

Existem vários tipos diferentes de pirâmide, pois ela é nomeada de acordo com o sólido geométrico que compõe a sua base. Logo, podemos ter pirâmide triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, entre outras.

Podemos dividir as pirâmides em dois grupos, dependendo do seu formato.

• Pirâmide reta: se a projeção do vértice da pirâmide na sua base coincide com o centro do polígono que forma a base da pirâmide, trata-se de uma pirâmide reta.

• Pirâmide oblíqua: se a projeção do vértice da pirâmide não coincide com o centro do polígono que forma a base, essa pirâmide é oblíqua.

Fórmulas da pirâmide

→ Área lateral da pirâmide

A área lateral depende do polígono que forma a base da pirâmide. Isso porque para calcular a área lateral da pirâmide é importante conhecermos a medida do apótema da pirâmide a, pois a área lateral da pirâmide é formada por triângulos de altura a, e o lado depende do polígono que forma a base da pirâmide.

• Polígono não regular: quando ele não é um polígono regular, ou seja, com todos os lados iguais, é necessário realizar o cálculo da área de cada triângulo e somar para obter a área lateral.

• Polígono regular: quando o polígono da base é regular, ou seja, possui todos os lados com a mesma medida, então a área lateral pode ser calculada por:

\(A_l=n\cdot\frac{b\cdot a}{2}\)

→ Área da base da pirâmide

A área da base também depende do polígono que forma a base da pirâmide. Como vimos, a pirâmide pode ter qualquer polígono em sua base. Por exemplo, se a base for um quadrado, então a área da base da pirâmide será igual à área do quadrado, que é l². Se a base for um retângulo, multiplicamos o comprimento pela largura e encontramos a área da base. Logo, para calcular a área da base, é importante conhecermos bem as fórmulas para calcular a área dos principais polígonos.

→ Área total da pirâmide

A área total da pirâmide é igual à soma da área lateral com a área da base:

\(A_T=A_b+A_l\)

→ Volume da pirâmide

O volume da pirâmide é o produto entre a área da base e da altura divido por três:

\(V=\frac{A_b\cdot h}{3}\)

Saiba mais: Tronco de pirâmide — um sólido geométrico formado por meio de uma secção transversal em uma pirâmide

Exercícios resolvidos sobre pirâmide

Questão 1

Um objeto em forma de pirâmide possui base retangular com lados medindo 4,5 cm e 5,0 cm. Se essa pirâmide possui 8 cm de altura, então o volume desse objeto é:

A) 85 cm³

B) 60 cm³

C) 55 cm³

D) 20 cm³

E) 15 cm³

Resolução:

Alternativa B

Sabemos que o volume da pirâmide é calculado pela fórmula:

\(V=\frac{A_b\cdot h}{3}\)

Como a base é um retângulo, para calcular a área da base, multiplicaremos suas dimensões, ou seja:

\(A_b=4,5\cdot5=22,5\ cm^2\)

Então, o volume será igual a:

\(V=\frac{22,5\cdot8}{3}\)

\(V=\frac{180}{3}\)

\(V=60\ cm^3\)

Questão 2

Analise a pirâmide reta a seguir:

Sabendo que a sua base é formada por um quadrado, a área total dessa pirâmide é de:

A) 100 cm²

B) 120 cm²

C) 210 cm²

D) 260 cm²

E) 360 cm²

Resolução:

Alternativa E

Para calcular a área total da pirâmide, é necessário calcularmos a área da base e a área lateral da pirâmide e somar. Calculando a área da base, que é um quadrado, temos que:

\(A_b=l^2\)

\(A_b={10}^2\)

\(A_b=100\ cm^2\)

Agora, encontraremos o apótema da pirâmide para calcular a área lateral. Como a pirâmide é reta, e a base é um quadrado, o apótema da base vai ser a metade da aresta do quadrado, ou seja, 10 : 2 = 5. Pela relação pitagórica, temos que:

\(a^2=a_b^2+h^2\)

Sabemos que \(a_b=5\) e \(h=12\):

\(a^2=5^2+{12}^2\)

\(a^2=25+144\)

\(a^2=169\)

\(a=\sqrt{169}\)

\(a=13\)

Sabemos que a área lateral é formada por 4 faces triangulares, a altura da face lateral é 13, e a base do triângulo que forma a face lateral mede 10, logo temos que:

\(A_l=4\cdot\frac{10\cdot13}{2}\)

\(A_l=4\cdot\frac{130}{2}\)

\(A_l=4\cdot65\)

\(A_l=260\ cm^2\)

Então, a área total dessa pirâmide é igual a:

\(A_T=100+260=360\ cm^2\)