Hexágono

Hexágono é o polígono com seis lados e seis ângulos. Se os lados e ângulos forem congruentes, ou seja, se tiverem a mesma medida, o hexágono é regular. Caso contrário, é irregular.

Uma característica importante do hexágono regular é que esse polígono pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. Dessa forma, é muito interessante conhecer os elementos e fórmulas do triângulo equilátero para compreender as particularidades do hexágono regular.

Leia também: Quadriláteros — os polígonos que possuem quatro lados

Resumo sobre hexágono

• O hexágono é o polígono que possui seis lados e seis ângulos.
• O hexágono pode ser convexo ou não convexo.
• Todo hexágono convexo possui 9 diagonais e pode ser regular ou não regular.
• O hexágono regular possui os 6 lados e os 6 ângulos congruentes (de mesma medida).
• Os ângulos internos de um hexágono regular medem 120°.
• Por não ter os lados congruentes, o não regular também não possui ângulos congruentes.
• O perímetro de um hexágono é a soma de seus seis lados.
• A área de um hexágono regular é seis vezes a área de um triângulo equilátero.
• O apótema de um hexágono regular é a altura de um triângulo equilátero.

O que é hexágono?

O prefixo grego hexa se refere ao número 6. Assim, hexágono é o polígono que possui 6 lados. Um dos exemplos mais clássicos da presença de hexágonos na natureza é a estrutura dos favos de mel.

Quais são os tipos de hexágono?

O hexágono pode ser convexo ou não convexo. Dizemos que um hexágono é convexo se dados dois pontos pertencentes ao hexágono, o segmento que une esses pontos também pertence ao hexágono. Se o segmento não pertencer, dizemos que o hexágono não é convexo.

Dado um hexágono convexo, podemos classificá-lo em regular ou não regular. Caso os seis lados do hexágono possuam a mesma medida, ele é chamado de regular. Do contrário, é chamado de não regular.

Quais são os elementos do hexágono?

O hexágono é formado por 6 lados, 6 vértices e 6 ângulos.

• Vértices: pontos A, B, C, D, E e F.
• Lados: segmentos AB, BC, CD, DE, EF e FA.
• Ângulos: aberturas \(\hat{A},\ \ \hat{B},\ \ \hat{C},\ \ \hat{D},\ \ \hat{E}\ e\ \hat{F}\).

Veja também: Quais são os elementos de um poliedro?

Quais são as propriedades do hexágono?

→ Todo hexágono convexo possui 9 diagonais

Para verificar essa propriedade, vamos utilizar a fórmula para o número de diagonais de um polígono com n = 6 (pois o hexágono possui seis lados):

\(d=\frac{(n-3)·n}2\)

\(d=\frac{(6-3)·6}2\)

\(d=\frac{18}{2}\)

\(d=9\)

→ No hexágono regular, cada ângulo interno mede 120° e cada ângulo externo mede 60°

Para verificar essa propriedade, vamos utilizar duas fórmulas. Uma delas é a soma dos ângulos internos de um polígono regular. A outra é a soma dos ângulos externos de um polígono regular. Assim como na propriedade anterior, precisamos aplicar n=6.

A soma dos ângulos internos de um polígono regular é dada por S_i = (n-2) 180°. Portanto, a soma dos ângulos internos de um hexágono regular é

\(S_i=\left(6-2\right)·180°\)

\(S_i=\ 720°\)

Isso significa que cada ângulo interno mede

\(\frac{720°}{6}=120°\)

Além disso, em um polígono regular, a soma dos ângulos externos é 360°. Consequentemente, cada ângulo interno de um hexágono regular mede

\(\frac{360°}{6}=60°\)

Fórmulas do hexágono

→ Perímetro do hexágono

O perímetro de um hexágono é a soma dos seus 6 lados. No caso de um hexágono regular, como cada lado possui a mesma medida, o perímetro p é dado por

\(p\ =\ 6·l\)

Na fórmula, l é a medida do lado do hexágono regular.

→ Área do hexágono regular

Considere um hexágono regular ABCDEF com lado de medida l . Observe que podemos dividir essa figura em 6 triângulos equiláteros:

Considerando que AO, BO, CO, DO, EO e FO medem l, a área de um hexágono regular é igual à área de seis triângulos equiláteros. Veja:

\(A_\mathrm{h}=6·A_t\)

\(A_\mathrm{h}=6·\frac{l^2 \sqrt3}{4}\)

\(A_\mathrm{h}=3·\frac{l^2 \sqrt3}{2}\)

→ Apótema do hexágono regular

O apótema do hexágono regular é o segmento que liga o centro desse polígono com o ponto médio de um dos lados. Na imagem abaixo, segmento pontilhado OM é um apótema do hexágono regular ABCDEF.

Observe que OM é a altura do triângulo equilátero OCD. Considere a como a medida de OM. Assim, a medida a do apótema de um hexágono regular de lado l é dada por

\(a=\frac{l\sqrt3}{2}\)

→ Volume do prisma de base hexagonal regular

O prisma de base hexagonal regular é um poliedro em que as bases são hexágonos regulares. Utilizando a observação sobre a área de um hexágono regular e alguns conhecimentos de Geometria Espacial, podemos construir uma fórmula específica para o cálculo de seu volume.

Acompanhe o raciocínio a seguir e perceba que não é necessário decorar essa expressão, mas que podemos construí-la agregando saberes geométricos. Considere o prisma abaixo, que possui altura h e arestas da base de medida l.

O volume do prisma acima é o produto entre a área da base (área do hexágono regular) e a altura h:

V = Área hexágono regular ⋅ altura

\(V=3\cdot\frac{l^2\sqrt3}{2}\cdot h\)

→ Pirâmide de base hexagonal regular

A pirâmide de base hexagonal regular é uma pirâmide em que a base é um hexágono regular. Assim como fizemos com o prisma, podemos construir uma fórmula específica para cálculo de seu volume. Considere a pirâmide abaixo, que possui altura h e arestas da base de medida l.

O volume da pirâmide acima é um terço do produto entre a área da base (área do hexágono regular) e a altura h:

\(V=\frac{1}{3}\)Área hexágono regular \(\cdot\) altura

\(V=\frac{1}{3}\left(3\cdot\frac{l^2\sqrt3}{2}\right)\cdot h\)

Simplificando,

\(V=\frac{l^2\sqrt3}{2}\cdot h\)

Hexágono inscrito em uma circunferência

Se um hexágono regular está inscrito em uma circunferência, então todos os vértices do hexágono pertencem à circunferência. Além disso, o centro dessa circunferência coincide com o centro do hexágono, e o raio dessa circunferência possui a mesma medida que o lado do hexágono.

Acesse também: Relações métricas no hexágono regular inscrito

Hexágono circunscrito a uma circunferência

Se um hexágono regular está circunscrito a uma circunferência, então a circunferência tangencia cada lado do hexágono no ponto médio. Além disso, o centro dessa circunferência coincide com o centro do hexágono, e o raio dessa circunferência possui a mesma medida que o apótema do hexágono.

Exercícios resolvidos sobre hexágono

Questão 1

Se a área de um hexágono regular é 243, então a medida do lado é

A) 2 cm

B) 3 cm

C) 4 cm

D) 5 cm

E) 6 cm

Resolução:

Alternativa C.

Considere l como a medida do lado do hexágono regular. Utilizando a fórmula que deduzimos para a área:

\(A_\mathrm{h}=3·\frac{l^2\sqrt3}{2}\)

\(24\sqrt3=3·\frac{l^2\sqrt3}{2}\)

\(48\sqrt3=3\cdot l^2\sqrt3\)

\(16=l^2\)

Como l é positivo, concluímos que l = 4.

Questão 2

Qual a medida do apótema de um hexágono regular com 18 cm de perímetro?

A) \( \frac{5\sqrt3}{2}\)

B) \( \frac{3\sqrt3}{2}\)

C) \( \frac{\sqrt3}{2}\)

D) \( \frac{5\sqrt3}{3}\)

E) \( \frac{\sqrt3}{3}\)

Resolução:

Alternativa B.

Considere a como a medida do apótema. Se um hexágono regular possui 18 cm de perímetro, então cada lado l mede 3 cm. Portanto,

\(a=\frac{l\sqrt3}{2}\)

\(a=\frac{3\sqrt3}{2}\)