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Hexágono

O hexágono é um polígono com seis lados. Se todos os lados tiverem a mesma medida, o hexágono é dito regular.
Representação de um hexágono regular.
O hexágono é o polígono que possui seis lados e, consequentemente, seis ângulos.

Hexágono é o polígono com seis lados e seis ângulos. Se os lados e ângulos forem congruentes, ou seja, se tiverem a mesma medida, o hexágono é regular. Caso contrário, é irregular.

Uma característica importante do hexágono regular é que esse polígono pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. Dessa forma, é muito interessante conhecer os elementos e fórmulas do triângulo equilátero para compreender as particularidades do hexágono regular.

Leia também: Quadriláteros — os polígonos que possuem quatro lados

Resumo sobre hexágono

  • O hexágono é o polígono que possui seis lados e seis ângulos.
  • O hexágono pode ser convexo ou não convexo.
  • Todo hexágono convexo possui 9 diagonais e pode ser regular ou não regular.
  • O hexágono regular possui os 6 lados e os 6 ângulos congruentes (de mesma medida).
  • Os ângulos internos de um hexágono regular medem 120°.
  • Por não ter os lados congruentes, o não regular também não possui ângulos congruentes.
  • O perímetro de um hexágono é a soma de seus seis lados.
  • A área de um hexágono regular é seis vezes a área de um triângulo equilátero.
  • O apótema de um hexágono regular é a altura de um triângulo equilátero.

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O que é hexágono?

O prefixo grego hexa se refere ao número 6. Assim, hexágono é o polígono que possui 6 lados. Um dos exemplos mais clássicos da presença de hexágonos na natureza é a estrutura dos favos de mel.

Padrão hexagonal (de hexágonos) em um pedaço de favo de mel.
Padrão hexagonal em um pedaço de favo de mel.

Quais são os tipos de hexágono?

O hexágono pode ser convexo ou não convexo. Dizemos que um hexágono é convexo se dados dois pontos pertencentes ao hexágono, o segmento que une esses pontos também pertence ao hexágono. Se o segmento não pertencer, dizemos que o hexágono não é convexo.

Hexágono convexo (à esquerda) e hexágono não convexo (à direita).
Hexágono convexo (à esquerda) e hexágono não convexo (à direita).

Dado um hexágono convexo, podemos classificá-lo em regular ou não regular. Caso os seis lados do hexágono possuam a mesma medida, ele é chamado de regular. Do contrário, é chamado de não regular.

Hexágono regular (à esquerda) e hexágono não regular (à direita).
Hexágono regular (à esquerda) e hexágono não regular (à direita).

Quais são os elementos do hexágono?

O hexágono é formado por 6 lados, 6 vértices e 6 ângulos.

Ilustração de um hexágono para indicação de seus elementos: 6 lados, 6 vértices e 6 ângulos.

  • Vértices: pontos A, B, C, D, E e F.
  • Lados: segmentos AB, BC, CD, DE, EF e FA.
  • Ângulos: aberturas \(\hat{A},\ \ \hat{B},\ \ \hat{C},\ \ \hat{D},\ \ \hat{E}\ e\ \hat{F}\).

Veja também: Quais são os elementos de um poliedro?

Quais são as propriedades do hexágono?

→ Todo hexágono convexo possui 9 diagonais

Para verificar essa propriedade, vamos utilizar a fórmula para o número de diagonais de um polígono com n = 6 (pois o hexágono possui seis lados):

\(d=\frac{(n-3)·n}2\)

\(d=\frac{(6-3)·6}2\)

\(d=\frac{18}{2}\)

\(d=9\)

→ No hexágono regular, cada ângulo interno mede 120° e cada ângulo externo mede 60°

Para verificar essa propriedade, vamos utilizar duas fórmulas. Uma delas é a soma dos ângulos internos de um polígono regular. A outra é a soma dos ângulos externos de um polígono regular. Assim como na propriedade anterior, precisamos aplicar n=6.

A soma dos ângulos internos de um polígono regular é dada por Si = (n-2) 180°. Portanto, a soma dos ângulos internos de um hexágono regular é

\(S_i=\left(6-2\right)·180°\)

\(S_i=\ 720°\)

Isso significa que cada ângulo interno mede

\(\frac{720°}{6}=120°\)

Além disso, em um polígono regular, a soma dos ângulos externos é 360°. Consequentemente, cada ângulo interno de um hexágono regular mede

\(\frac{360°}{6}=60°\)

Medida de cada ângulo interno e externo de um hexágono regular.
Medida de cada ângulo interno e externo de um hexágono regular.

Fórmulas do hexágono

→ Perímetro do hexágono

O perímetro de um hexágono é a soma dos seus 6 lados. No caso de um hexágono regular, como cada lado possui a mesma medida, o perímetro p é dado por

\(p\ =\ 6·l\)

Na fórmula, l é a medida do lado do hexágono regular.

→ Área do hexágono regular

Considere um hexágono regular ABCDEF com lado de medida l . Observe que podemos dividir essa figura em 6 triângulos equiláteros:

Ilustração do hexágono regular ABCDEF dividido em 6 triângulos equiláteros.

Considerando que AO, BO, CO, DO, EO e FO medem l, a área de um hexágono regular é igual à área de seis triângulos equiláteros. Veja:

\(A_\mathrm{h}=6·A_t\)

\(A_\mathrm{h}=6·\frac{l^2 \sqrt3}{4}\)

\(A_\mathrm{h}=3·\frac{l^2 \sqrt3}{2}\)

→ Apótema do hexágono regular

O apótema do hexágono regular é o segmento que liga o centro desse polígono com o ponto médio de um dos lados. Na imagem abaixo, segmento pontilhado OM é um apótema do hexágono regular ABCDEF.

Ilustração apontando a apótema OM do hexágono regular ABCDEF.

Observe que OM é a altura do triângulo equilátero OCD. Considere a como a medida de OM. Assim, a medida a do apótema de um hexágono regular de lado l é dada por

\(a=\frac{l\sqrt3}{2}\)

→ Volume do prisma de base hexagonal regular

O prisma de base hexagonal regular é um poliedro em que as bases são hexágonos regulares. Utilizando a observação sobre a área de um hexágono regular e alguns conhecimentos de Geometria Espacial, podemos construir uma fórmula específica para o cálculo de seu volume.

Acompanhe o raciocínio a seguir e perceba que não é necessário decorar essa expressão, mas que podemos construí-la agregando saberes geométricos. Considere o prisma abaixo, que possui altura h e arestas da base de medida l.

Ilustração de um prisma de base hexagonal regular.

O volume do prisma acima é o produto entre a área da base (área do hexágono regular) e a altura h:

V = Área hexágono regular ⋅ altura

\(V=3\cdot\frac{l^2\sqrt3}{2}\cdot h\)

→ Pirâmide de base hexagonal regular

A pirâmide de base hexagonal regular é uma pirâmide em que a base é um hexágono regular. Assim como fizemos com o prisma, podemos construir uma fórmula específica para cálculo de seu volume. Considere a pirâmide abaixo, que possui altura h e arestas da base de medida l.

Ilustração de uma pirâmide de base hexagonal regular.

O volume da pirâmide acima é um terço do produto entre a área da base (área do hexágono regular) e a altura h:

\(V=\frac{1}{3}\)Área hexágono regular \(\cdot\) altura

\(V=\frac{1}{3}\left(3\cdot\frac{l^2\sqrt3}{2}\right)\cdot h\)

Simplificando,

\(V=\frac{l^2\sqrt3}{2}\cdot h\)

Hexágono inscrito em uma circunferência

Se um hexágono regular está inscrito em uma circunferência, então todos os vértices do hexágono pertencem à circunferência. Além disso, o centro dessa circunferência coincide com o centro do hexágono, e o raio dessa circunferência possui a mesma medida que o lado do hexágono.

Ilustração de um hexágono inscrito em uma circunferência.

Acesse também: Relações métricas no hexágono regular inscrito

Hexágono circunscrito a uma circunferência

Se um hexágono regular está circunscrito a uma circunferência, então a circunferência tangencia cada lado do hexágono no ponto médio. Além disso, o centro dessa circunferência coincide com o centro do hexágono, e o raio dessa circunferência possui a mesma medida que o apótema do hexágono.

Exercícios resolvidos sobre hexágono

Questão 1

Se a área de um hexágono regular é 243, então a medida do lado é

A) 2 cm

B) 3 cm

C) 4 cm

D) 5 cm

E) 6 cm

Resolução:

Alternativa C.

Considere l como a medida do lado do hexágono regular. Utilizando a fórmula que deduzimos para a área:

\(A_\mathrm{h}=3·\frac{l^2\sqrt3}{2}\)

\(24\sqrt3=3·\frac{l^2\sqrt3}{2}\)

\(48\sqrt3=3\cdot l^2\sqrt3\)

\(16=l^2\)

Como l é positivo, concluímos que l = 4.

Questão 2

Qual a medida do apótema de um hexágono regular com 18 cm de perímetro?

A) \( \frac{5\sqrt3}{2}\)

B) \( \frac{3\sqrt3}{2}\)

C) \( \frac{\sqrt3}{2}\)

D) \( \frac{5\sqrt3}{3}\)

E) \( \frac{\sqrt3}{3}\)

Resolução:

Alternativa B.

Considere a como a medida do apótema. Se um hexágono regular possui 18 cm de perímetro, então cada lado l mede 3 cm. Portanto,

\(a=\frac{l\sqrt3}{2}\)

\(a=\frac{3\sqrt3}{2}\)

Publicado por Maria Luiza Alves Rizzo
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