Combinação com repetição
A combinação com repetição é um entre os agrupamentos estudados na análise combinatória. Conhecemos como combinação com repetição de n elementos tomados de k em k todos os agrupamentos que podemos formar escolhendo k entre n, sendo que um mesmo elemento pode se repetir.
Calcular a combinação com repetição é encontrar a quantidade de agrupamentos possíveis nessas condições, e, para isso, utilizamos uma fórmula específica da combinação com repetição. É possível também relacionar a combinação com repetição com uma combinação simples. A combinação com repetição está presente em várias situações do dia a dia, como em jogos de carta, e situações envolvendo escolhas simples com agrupamentos.
Veja também: Como calcular um arranjo simples?
Resumo sobre combinação com repetição
- Combinação com repetição é um tipo de agrupamento da análise combinatória.
- Combinação com repetição são todos os agrupamentos não ordenados, escolhendo k elementos de um conjunto com n elementos, podendo ter repetição.
- Para calcular todas as combinações com repetição, utilizamos a fórmula:
- Podemos relacionar a combinação com repetição com uma combinação simples pela fórmula:
CRn,k = Cn+k-1,k
O que é combinação com repetição?
Na análise combinatória, estuda-se vários tipos de agrupamentos, entre eles conhecemos a combinação com repetição. Dado um conjunto com n elementos, definimos como Crn,k — combinação com repetição de n elementos tomados de k a k — todos os agrupamentos não ordenados que podemos formar contendo k elementos, com repetições, escolhidos entre os n elementos do conjunto.
Vejamos um exemplo simples de combinação com repetição.
Exemplo:
Em um restaurante existem 4 opções de sucos feitos da fruta, são eles: abacaxi, laranja, manga e tamarindo. De quantas maneiras distintas um cliente pode pedir dois sucos?
Essa situação é uma combinação com repetição, pois a ordem dos sabores não é importante, ou seja, se o cliente pedir abacaxi e laranja ou laranja e abacaxi, será o mesmo agrupamento. Além disso, são permitidas repetições, ou seja, ele pode pedir dois sucos do mesmo sabor.
Vamos listar todas as combinações com repetição possíveis, são elas:
{abacaxi, abacaxi}, {abacaxi, laranja}, {abacaxi, manga}, {abacaxi, tamarindo}, {laranja, laranja}, {laranja, manga}, {laranja, tamarindo}, {manga, manga}, {manga, tamarindo}, {tamarindo, tamarindo}
Essa é uma combinação com repetição de 4 elementos tomados de 2 em 2, CR4,2.
Note que existem 10 combinações possíveis.
A combinação com repetição está presente em várias situações do dia a dia, por exemplo, nos jogos de cartas, no lançamento de dados, e em várias situações que envolvem a escolha de determinada parte do conjunto em que possa existir repetição e cuja ordem não é importante.
Leia também: Permutação simples – todos os agrupamentos ordenados formados com todos os elementos de um conjunto
Qual é a fórmula da combinação com repetição?
Diante de diversas situações envolvendo combinações com repetição, muitas vezes, o interesse não é em listar cada uma das combinações, mas saber qual é a quantidade total de combinações com repetição possíveis. Anteriormente, fizemos um exemplo simples, mas, quanto maior a quantidade de elementos tanto no conjunto quanto para serem escolhidos, maior será a quantidade de combinações com repetição possíveis, tornando a fórmula um caminho muito mais rápido para encontrar todas as possibilidades.
Dado um conjunto com n elementos tomados de k a k, a combinação completa ou combinação com repetição é calculada por:
CR → combinação com repetição
n → quantidade de elementos no conjunto
k → quantidade de elementos em cada reagrupamento
Existe a possibilidade de calcular uma combinação com repetição por meio de uma combinação simples utilizando a relação:
CRn,k = Cn+k-1,k
Cálculo da quantidade de combinações com repetição possíveis
Para realizar o cálculo da combinação com repetição, basta substituir os valores de n e k na fórmula.
Exemplo:
Calcularemos o total de combinações com repetição da situação citada anteriormente, em que o cliente escolherá 2 sabores entre {abacaxi, laranja, manga, tamarindo}.
Temos 4 opções tomadas de 2 em 2, então, substituindo na fórmula, temos que:
Exercícios resolvidos sobre combinação com repetição
Questão 1 - (Enem 2017) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por 1 carreta e 10 carrinhos nela transportados, conforme a figura.
No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.
Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?
A) C6,4
B) C9,3
C) C10,4
D) 64
E) 46
Resolução
Alternativa B
Note que temos uma combinação com repetição, com 4 opções de cores para 6 carrinhos, ou seja, n = 4 e k = 6. Analisando as alternativas, transformaremos a combinação com repetição em uma combinação simples:
CRn,k = Cn+k – 1, k
CR4,6 = C4+6 – 1, 6
CR4,6 = C9,6
Note que não há uma alternativa com a combinação simples, mas sabemos que C9,6 = C9,3.
Questão 2 - Buscando inovação, a pamonharia da Tia Joana lançou novos sabores de pamonha. São eles: pamonha à moda com pequi, pamonha de doce com chocolate, pamonha de carne moída com bacon, pamonha de calabresa e pamonha de carne seca. Se 3 clientes decidem escolher 1 pamonha cada entre os 5 sabores novos, o número de combinações distintas para o pedido deles é igual a:
A) 18
B) 25
C) 28
D) 35
E) 40
Resolução
Alternativa D
Há 5 sabores disponíveis, e os clientes escolherão 3 pamonhas, distintas ou não, então, temos que:
n = 5
k = 3
Substituindo na fórmula da combinação com repetição, temos que: