Lógica Matemática

Embora estudada por filósofos, a lógica matemática possui uma relação muito próxima com os cálculos matemáticos.

Na lógica matemática, utilizamos o cálculo proposicional, que lembra o cálculo matemático tradicional

Assim como acontece nos cálculos matemáticos, na lógica, há alguns símbolos e conceitos que são fundamentais para a compreensão e resolução de exercícios. O “raciocínio” que utilizamos pode ser classificado como cálculo proposicional. Uma ideia inicial de lógica consiste em classificar algo como verdadeiro ou falso. Suponha que um amigo lhe contou que “pera é uma fruta”. Se outro amigo lhe disser que “pera não é uma fruta”, ele estará negando o que o primeiro amigo contou. Utilizando operações lógicas, podemos chamar a afirmação “pera é uma fruta” simplesmente de p. Se negamos a afirmação p, podemos utilizar o sinal ~, que indica negação, portanto, o segundo amigo afirmou que ~p (ele negou p).

Suponha agora a chegada de um terceiro amigo que acredita que o segundo amigo está errado, como ele poderia negar que “pera não é uma fruta”? Ora, isso pode ser feito pela afirmação de que “pera é uma fruta”, portanto, se eu nego uma negação, eu terei apenas a primeira afirmação, isto é:

~(~p) = p

Vejamos uma forma de organizar essas ideias utilizando uma tabela – verdade.

p	~p	~(~p)
V	F	V
F	V	F

A segunda linha da tabela corresponde à situação hipotética que criamos no parágrafo anterior. Vamos interpretar agora a última linha da tabela. Seja a minha proposição agora falsa, se eu a nego, estou falando uma verdade. Mas se esse eu torno a negar essa verdade, estou novamente falando uma falsidade. Podemos concluir então que:

~V = F e ~(~V) = V
~F = V e ~(~F) = F

Vejamos um exemplo: Seja p a proposição “Vermelho é minha cor preferida”, temos então:

p: Vermelho é minha cor preferida;
~p: Vermelho não é minha cor preferida ou Não é verdade que vermelho é minha cor preferida ou ainda é mentira que vermelho é minha cor preferida;
~( ~p) : Vermelho é minha cor preferida.

Temos também a conjunção, representada pelo símbolo ^, que faz o papel do e quando nos remetemos a duas proposições. Por exemplo, se eu tenho “p ^ q”, eu leio “p e q”. Imagine-se em uma máquina da verdade. Se você disser duas afirmações verdadeiras, a máquina apontará que você diz a verdade. Mas se você disser uma verdade e uma mentira ou, ainda, disser duas mentiras, a máquina apontará que você é mentiroso, pois em algum momento você mentiu. Assim como na máquina, ocorre também com a conjunção. Vejamos a tabela verdade:

p	q	p ^ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Há ainda a disjunção. Esta faz o papel de ou e é representada pelo símbolo v. Se houver “p v q”, será lido “p ou q”. Agora se imagine em uma máquina um pouco mais “bondosa” que a anterior. Nessa máquina da verdade, o que você fala é aceito da seguinte forma: se você diz duas proposições verdadeiras, a máquina conclui que você fala a verdade; se você disser uma verdade e uma mentira, a máquina concluirá que você fala a verdade, pois, em algum momento, você disse a verdade, e nós dissemos que essa máquina é mais camarada, não é mesmo? Apenas se você disser duas afirmações falsas que a máquina dirá que você é mentiroso, pois concluirá que você nunca falou a verdade. Aqui também temos uma tabela verdade: