Plano inclinado com atrito

O plano inclinado com atrito é um conteúdo estudado na Física dinâmica que trata de situações que ocorrem movimentos em superfícies inclinadas que devem levar em consideração a força de atrito. Para calcular o plano inclinado com atrito, é necessário primeiramente representar e decompor as forças que atuam sobre o corpo para posteriormente realizar os cálculos.

Saiba mais: Plano inclinado — o estudo do movimento em planos com inclinações

Resumo sobre plano inclinado com atrito

• O plano inclinado é toda superfície que possui uma inclinação.

• Alguns exemplos de plano inclinado são as escadas, rampas, esteiras rolantes, montanhas.

• Nos planos inclinados, podemos considerar ou não a força de atrito. 

• O cálculo do plano inclinado com atrito envolve diversas fórmulas da dinâmica, como a segunda lei de Newton, a força peso e a força de atrito.

• No plano inclinado com atrito, em que um bloco está descendo e sofre apenas a atuação da força peso, força normal e força de atrito, a aceleração pode ser calculada por \(a=g\cdot(sin⁡\ θ-μ\cdot cos\ ⁡θ)\).

O que é plano inclinado?

O plano inclinado é um assunto estudado na dinâmica newtoniana que analisa o movimento dos corpos em superfícies, com ou sem atrito, que fazem um ângulo, não nulo, com a horizontal. Existem diversos exemplos de planos inclinados em nosso cotidiano, como as esteiras, escadas, rampas, ladeiras, montanhas e muito mais.

Força de atrito no plano inclinado

O estudo do plano inclinado é dividido em com atrito ou sem atrito de acordo a influência da força de atrito sobre o movimento. No plano inclinado sem atrito, a força de atrito é desprezada para facilitar o estudo do movimento, contudo, na realidade, sempre temos planos inclinados com atrito, já que essa força é uma força de contato entre duas superfícies ásperas que interfere na velocidade do movimento.

A força de atrito é uma grandeza física vetorial, então ela possui orientação e módulo:

• Direção: a mesma do movimento do corpo, podendo ser vertical ou horizontal.

• Sentido: contrário ao movimento do corpo, podendo ser para baixo, à direita, para cima, ou à esquerda.

• Módulo ou intensidade: calculado pelo produto entre o coeficiente de atrito e a força normal.

Para saber mais sobre a força de atrito e seus tipos, clique aqui.

Fórmulas de plano inclinado com atrito

A principais fórmulas utilizadas nos exercícios de plano inclinado com atrito envolvem as equações da segunda lei de Newton (princípio fundamental da dinâmica), a força peso, a força de atrito e a decomposição da força peso.

• 2ª lei de Newton

\(\vec{F_r}= m\cdot \vec{a}\)

• • \(\vec{F_r}\) é a força resultante no bloco, será a soma (caso as forças estejam para o mesmo lado) ou a subtração (caso as forças estejam em lados opostos) de todas as forças na horizontal ou na vertical; é medida em Newton \([N]\).

  • m é a massa do objeto, medida em quilogramas \([kg]\).

  • \( \vec{a}\) é a aceleração do objeto, medida em metros por segundo ao quadrado \([m/s^2] \).

• Força peso

\(\vec{P}= m\cdot \vec{g}\)

• • \(\vec{P}\) é a força peso, medida em Newton \([N]\).

  • m é a massa do objeto, medida em quilogramas \([kg]\).

  • \( \vec{g}\) é a aceleração da gravidade, medida em metros por segundo ao quadrado \([m/s^2] \).

• Decomposição da força peso

\(\vec{P_x}=P\cdot sen\ θ\)

\(\vec{P_y}=P\cdot cos\ θ\)

• \(\vec{P_x}\) é a coordenada horizontal da força peso, medida em Newton \([N]\).

• \(\vec{P_y}\) é a coordenada vertical da força peso, medida em Newton \([N]\).

• P é o módulo da força peso, medido em Newton \([N]\).

• \(sen\ θ \) é o seno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.

• \(cos\ θ\)  é o cosseno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.

• Força de atrito

\(\vec{f_{at}}=μ\cdot \vec{N}\)

• • \(\vec{f_{at}}\) é a força de atrito, medida em Newton \([N]\).

  • \(μ\) é o coeficiente de atrito, pode ser estático, quando o bloco está na iminência do movimento (quase se movimentando), ou cinético, quando o bloco está se movimentando; não possui unidade de medida.

  • \(\vec{N} \) é a força normal, medida em Newton \([N]\).

Como calcular o plano inclinado com atrito

O plano inclinado com atrito é normalmente calculado por meio de três etapas:

• 1ª etapa: representação das forças que atuam sobre o corpo.

• 2ª etapa: decomposição da força peso e de qualquer outra força que está na direção diagonal em suas componentes vertical e horizontal.

• 3ª etapa: resolução do exercício por meio das fórmulas da dinâmica, como a segunda lei de Newton, a força peso e a força de atrito.

Exemplo:

Calcule a força de atrito e o coeficiente de atrito cinético em um bloco de 20 kg que está descendo uma ladeira, com aceleração de \(4\ m/s^2 \), que possui uma inclinação de \(60°\), como representado na imagem abaixo:

Considere a aceleração da gravidade como sendo \(10\ m/s^2 \), seno 60° = 0,86 e cosseno 60° = 0,5.

Podemos resolver esse exemplo por meio das três etapas mencionadas anteriormente:

• 1ª etapa: representaremos as forças que atuam sobre o corpo.

• 2ª etapa: decomporemos a força peso que está na direção diagonal, em sua componente vertical \(\vec{P_y}\) e em sua componente horizontal \(\vec{P_x}\).

• 3ª etapa: cálculo da força de atrito e do coeficiente de atrito cinético por meio das fórmulas da segunda lei de Newton, da força peso e da força normal.

Como o bloco está descendo a ladeira, a componente \(\vec{P_x}\)  é maior que a força de atrito, então, pela segunda lei de Newton, calcularemos a força de atrito:

\(\vec{F_R}=m\cdot \vec{a}\)

\(\vec{P_x}-\vec{f_{at}}=m\cdot \vec{a}\)

\(P\cdot sen\ θ-\vec{f_{at}}=m\cdot \vec{a}\)

\(m\cdot \vec{g}\cdot sen\ θ-\vec{f_{at}}=m\cdot \vec{a}\)

\(20\cdot 10\cdot sen\ 60°-\vec{f_{at}}=20\cdot 4\)

\(200\cdot 0,86-\vec{f_{at}}= 80\)

\(172-\vec{f_{at}}= 80\)

\(-\vec{f_{at}}= 80-172\)

\(-\vec{f_{at}}= -92\)

\(\vec{f_{at}}= 92\ N\)

Por fim, calcularemos o coeficiente de atrito cinético por meio da fórmula da força de atrito:

\(\vec{f_{at}}= μ_c\cdot \vec{N}\)

Como não foi informado o valor da força normal, é possível perceber, por meio da decomposição de forças, na segunda etapa, que a força normal é igual à componente \(\vec{Py}\), então:

\(\vec{F_{at}}= μ_c\cdot \vec{P_y}\)

\(\vec{F_{at}}= μ_c\cdot P \cdot cos\ θ\)

\(\vec{F_{at}}= μ_c\cdot m \cdot \vec{g} \cdot cos\ θ\)

\(\vec{F_{at}}= μ_c\cdot m \cdot \vec{g} \cdot cos\ 60\)

\(92= μ_c\cdot 20\cdot10\cdot0,5\)

\(92= μ_c\cdot 100\)

\(μ_c=\frac{92}{100}\)

\(μ_c=0,92\)

Aceleração do plano inclinado com atrito

No plano inclinado com atrito, quando um corpo não está em equilíbrio, ele se movimenta com determinada aceleração. Considerando o caso mais simples do plano inclinado com atrito, em que o corpo está descendo, e sobre ele temos apenas a atuação da força peso, força normal e força de atrito, então a aceleração pode ser calculada por meio da fórmula:

\(a=g\cdot (sin\ ⁡θ-μ\cdot cos⁡\ θ)\)

• a é a aceleração do corpo, medida em \([m/s^2] \).

• g é a aceleração da gravidade, medida em \([m/s^2] \).

• \(sen\ θ\) é o seno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.

•  \(μ\) é o coeficiente de atrito, pode ser estático, quando o corpo está na iminência do movimento (quase se movimentando), ou cinético, quando o corpo está se movimentando; não possui unidade de medida.

• \(cos\ θ\) é o cosseno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.

Observação: Nos casos em que temos a atuação de outras forças sobre o corpo, seja subindo, seja descendo, a aceleração do corpo no plano inclinado com atrito não é mais calculada pela fórmula acima.

Leia também: Leis de Newton — os postulados em torno da dinâmica do movimento

Exercícios resolvidos sobre plano inclinado com atrito

Questão 1

(UFRRJ — adaptada) Um bloco se apoia sobre um plano inclinado, conforme representado no esquema:

Dados: sen 30° = 0,5

Se o bloco tem peso de 700 N, a menor força de atrito capaz de manter o bloco em equilíbrio sobre o plano é:

a) 350 N

b) 300 N

c) 250 N

d) 200 N

e) 150 N

Resolução:

Alternativa A. No bloco estão atuando a força normal, força peso e força de atrito, conforme representado abaixo:

Decompondo a força peso, temos:

Para calcular a menor força de atrito, o bloco precisa estar em equilíbrio, então a força de atrito precisa ser igual a \(P_x\) (coordenada horizontal da força peso):

\(f_{at}=P_x\)

\(f_{at}=P\cdot sen\ θ\)

\(f_{at}=700\cdot sen\ 30°\)

\(f_{at}=700\cdot 0,5\)

\(f_{at}=350\ N\)

Questão 2 (Uerj) A figura abaixo representa o plano inclinado ABFE, inserido em um paralelepípedo retângulo ABCDEFGH de base horizontal, com 6 m de altura CF, 8 m de comprimento BC, e 15 m de largura AB, em repouso, apoiado no solo.

Admita um corpo de massa igual a 20 kg que desliza com atrito, em movimento retilíneo, do ponto F ao ponto B, com velocidade constante. A força de atrito, em newtons, entre a superfície desse corpo e o plano inclinado, é cerca de:

a) 50

b) 100

c) 120

d) 200

Resolução:

Alternativa C. Primeiramente calcularemos o lado FB por meio do teorema de Pitágoras:

\(FB^2=CB^2+FC^2\)

\(FB^2=8^2+6^2\)

\(FB^2=64+36\)

\(FB^2=100\)

\(FB=\sqrt{100}\)

\(FB=10\)

Depois, calcularemos o seno do ângulo de inclinação do plano no ponto B:

\(sen\ B=\frac{cateto\ oposto}{hipotenusa}\)

\(sen\ B=\frac{FC}{FB}\)

\(sen\ B=\frac{6}{10}\)

Por fim, para calcular a força de atrito, é necessário considerarmos o corpo em equilíbrio e que sobre ele estejam atuando as forças de atrito, normal e peso. Depois decompor a força peso, encontramos que a força de atrito é igual a \(P_x\) (coordenada horizontal da força peso), então:

\(f_{at}=P_x\)

\(f_{at}=P\cdot sen\ θ\)

\(f_{at}=m\cdot g\cdot 0,6\)

\(f_{at}=20\cdot 10\cdot 0,6\)

\(f_{at}=120\ N\)