Whatsapp icon Whatsapp

Plano inclinado com atrito

O plano inclinado com atrito é um tipo de máquina simples dotada de uma superfície áspera que possui uma inclinação.
Representação de forças que atuam sobre bloco em plano inclinado com atrito.
Decompor as forças é uma das etapas para cálculos que envolvem o plano inclinado com atrito.

O plano inclinado com atrito é um conteúdo estudado na Física dinâmica que trata de situações que ocorrem movimentos em superfícies inclinadas que devem levar em consideração a força de atrito. Para calcular o plano inclinado com atrito, é necessário primeiramente representar e decompor as forças que atuam sobre o corpo para posteriormente realizar os cálculos.

Saiba mais: Plano inclinado — o estudo do movimento em planos com inclinações

Resumo sobre plano inclinado com atrito

  • O plano inclinado é toda superfície que possui uma inclinação.

  • Alguns exemplos de plano inclinado são as escadas, rampas, esteiras rolantes, montanhas.

  • Nos planos inclinados, podemos considerar ou não a força de atrito. 

  • O cálculo do plano inclinado com atrito envolve diversas fórmulas da dinâmica, como a segunda lei de Newton, a força peso e a força de atrito.

  • No plano inclinado com atrito, em que um bloco está descendo e sofre apenas a atuação da força peso, força normal e força de atrito, a aceleração pode ser calculada por \(a=g\cdot(sin⁡\ θ-μ\cdot cos\ ⁡θ)\).

O que é plano inclinado?

O plano inclinado é um assunto estudado na dinâmica newtoniana que analisa o movimento dos corpos em superfícies, com ou sem atrito, que fazem um ângulo, não nulo, com a horizontal. Existem diversos exemplos de planos inclinados em nosso cotidiano, como as esteiras, escadas, rampas, ladeiras, montanhas e muito mais.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Força de atrito no plano inclinado

O estudo do plano inclinado é dividido em com atrito ou sem atrito de acordo a influência da força de atrito sobre o movimento. No plano inclinado sem atrito, a força de atrito é desprezada para facilitar o estudo do movimento, contudo, na realidade, sempre temos planos inclinados com atrito, já que essa força é uma força de contato entre duas superfícies ásperas que interfere na velocidade do movimento.

A força de atrito é uma grandeza física vetorial, então ela possui orientação e módulo:

  • Direção: a mesma do movimento do corpo, podendo ser vertical ou horizontal.

  • Sentido: contrário ao movimento do corpo, podendo ser para baixo, à direita, para cima, ou à esquerda.

  • Módulo ou intensidade: calculado pelo produto entre o coeficiente de atrito e a força normal.

Para saber mais sobre a força de atrito e seus tipos, clique aqui.

Fórmulas de plano inclinado com atrito

A principais fórmulas utilizadas nos exercícios de plano inclinado com atrito envolvem as equações da segunda lei de Newton (princípio fundamental da dinâmica), a força peso, a força de atrito e a decomposição da força peso.

  • 2ª lei de Newton

\(\vec{F_r}= m\cdot \vec{a}\)

    • \(\vec{F_r}\) é a força resultante no bloco, será a soma (caso as forças estejam para o mesmo lado) ou a subtração (caso as forças estejam em lados opostos) de todas as forças na horizontal ou na vertical; é medida em Newton \([N]\).

    • m é a massa do objeto, medida em quilogramas \([kg]\).

    • \( \vec{a}\) é a aceleração do objeto, medida em metros por segundo ao quadrado \([m/s^2] \).

  • Força peso

\(\vec{P}= m\cdot \vec{g}\)

    • \(\vec{P}\) é a força peso, medida em Newton \([N]\).

    • m é a massa do objeto, medida em quilogramas \([kg]\).

    • \( \vec{g}\) é a aceleração da gravidade, medida em metros por segundo ao quadrado \([m/s^2] \).

  • Decomposição da força peso

\(\vec{P_x}=P\cdot sen\ θ\)

\(\vec{P_y}=P\cdot cos\ θ\)

  • \(\vec{P_x}\) é a coordenada horizontal da força peso, medida em Newton \([N]\).

  • \(\vec{P_y}\) é a coordenada vertical da força peso, medida em Newton \([N]\).

  • P é o módulo da força peso, medido em Newton \([N]\).

  • \(sen\ θ \) é o seno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.

  • \(cos\ θ\)  é o cosseno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.

  • Força de atrito

\(\vec{f_{at}}=μ\cdot \vec{N}\)

    • \(\vec{f_{at}}\) é a força de atrito, medida em Newton \([N]\).

    • \(μ\) é o coeficiente de atrito, pode ser estático, quando o bloco está na iminência do movimento (quase se movimentando), ou cinético, quando o bloco está se movimentando; não possui unidade de medida.

    • \(\vec{N} \) é a força normal, medida em Newton \([N]\).

Como calcular o plano inclinado com atrito

O plano inclinado com atrito é normalmente calculado por meio de três etapas:

  • 1ª etapa: representação das forças que atuam sobre o corpo.

  • 2ª etapa: decomposição da força peso e de qualquer outra força que está na direção diagonal em suas componentes vertical e horizontal.

  • 3ª etapa: resolução do exercício por meio das fórmulas da dinâmica, como a segunda lei de Newton, a força peso e a força de atrito.

Exemplo:

Calcule a força de atrito e o coeficiente de atrito cinético em um bloco de 20 kg que está descendo uma ladeira, com aceleração de \(4\ m/s^2 \), que possui uma inclinação de \(60°\), como representado na imagem abaixo:

Bloco descendo em plano com inclinação de 60º.

Considere a aceleração da gravidade como sendo \(10\ m/s^2 \), seno 60° = 0,86 e cosseno 60° = 0,5.

Podemos resolver esse exemplo por meio das três etapas mencionadas anteriormente:

  • 1ª etapa: representaremos as forças que atuam sobre o corpo.

Representação de forças que atuam sobre bloco em plano com inclinação de 60º.

  • 2ª etapa: decomporemos a força peso que está na direção diagonal, em sua componente vertical \(\vec{P_y}\) e em sua componente horizontal \(\vec{P_x}\).

Representação da decomposição da força peso em bloco sobre plano inclinado com atrito.

  • 3ª etapa: cálculo da força de atrito e do coeficiente de atrito cinético por meio das fórmulas da segunda lei de Newton, da força peso e da força normal.

Como o bloco está descendo a ladeira, a componente \(\vec{P_x}\)  é maior que a força de atrito, então, pela segunda lei de Newton, calcularemos a força de atrito:

\(\vec{F_R}=m\cdot \vec{a}\)

\(\vec{P_x}-\vec{f_{at}}=m\cdot \vec{a}\)

\(P\cdot sen\ θ-\vec{f_{at}}=m\cdot \vec{a}\)

\(m\cdot \vec{g}\cdot sen\ θ-\vec{f_{at}}=m\cdot \vec{a}\)

\(20\cdot 10\cdot sen\ 60°-\vec{f_{at}}=20\cdot 4\)

\(200\cdot 0,86-\vec{f_{at}}= 80\)

\(172-\vec{f_{at}}= 80\)

\(-\vec{f_{at}}= 80-172\)

\(-\vec{f_{at}}= -92\)

\(\vec{f_{at}}= 92\ N\)

Por fim, calcularemos o coeficiente de atrito cinético por meio da fórmula da força de atrito:

\(\vec{f_{at}}= μ_c\cdot \vec{N}\)

Como não foi informado o valor da força normal, é possível perceber, por meio da decomposição de forças, na segunda etapa, que a força normal é igual à componente \(\vec{Py}\), então:

\(\vec{F_{at}}= μ_c\cdot \vec{P_y}\)

\(\vec{F_{at}}= μ_c\cdot P \cdot cos\ θ\)

\(\vec{F_{at}}= μ_c\cdot m \cdot \vec{g} \cdot cos\ θ\)

\(\vec{F_{at}}= μ_c\cdot m \cdot \vec{g} \cdot cos\ 60\)

\(92= μ_c\cdot 20\cdot10\cdot0,5\)

\(92= μ_c\cdot 100\)

\(μ_c=\frac{92}{100}\)

\(μ_c=0,92\)

Aceleração do plano inclinado com atrito

No plano inclinado com atrito, quando um corpo não está em equilíbrio, ele se movimenta com determinada aceleração. Considerando o caso mais simples do plano inclinado com atrito, em que o corpo está descendo, e sobre ele temos apenas a atuação da força peso, força normal e força de atrito, então a aceleração pode ser calculada por meio da fórmula:

\(a=g\cdot (sin\ ⁡θ-μ\cdot cos⁡\ θ)\)

  • a é a aceleração do corpo, medida em \([m/s^2] \).

  • g é a aceleração da gravidade, medida em \([m/s^2] \).

  • \(sen\ θ\) é o seno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.

  •  \(μ\) é o coeficiente de atrito, pode ser estático, quando o corpo está na iminência do movimento (quase se movimentando), ou cinético, quando o corpo está se movimentando; não possui unidade de medida.

  • \(cos\ θ\) é o cosseno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.

Observação: Nos casos em que temos a atuação de outras forças sobre o corpo, seja subindo, seja descendo, a aceleração do corpo no plano inclinado com atrito não é mais calculada pela fórmula acima.

Leia também: Leis de Newton — os postulados em torno da dinâmica do movimento

Exercícios resolvidos sobre plano inclinado com atrito

Questão 1

(UFRRJ — adaptada) Um bloco se apoia sobre um plano inclinado, conforme representado no esquema:

Bloco sobre plano com inclinação de 30º.

Dados: sen 30° = 0,5

Se o bloco tem peso de 700 N, a menor força de atrito capaz de manter o bloco em equilíbrio sobre o plano é:

a) 350 N

b) 300 N

c) 250 N

d) 200 N

e) 150 N

Resolução:

Alternativa A. No bloco estão atuando a força normal, força peso e força de atrito, conforme representado abaixo:

Forças que atuam sobre bloco em plano com inclinação de 30º.

Decompondo a força peso, temos:

 Decomposição de forças que atuam sobre bloco sobre plano com inclinação de 30º.

Para calcular a menor força de atrito, o bloco precisa estar em equilíbrio, então a força de atrito precisa ser igual a \(P_x\) (coordenada horizontal da força peso):

\(f_{at}=P_x\)

\(f_{at}=P\cdot sen\ θ\)

\(f_{at}=700\cdot sen\ 30°\)

\(f_{at}=700\cdot 0,5\)

\(f_{at}=350\ N\)

Questão 2 (Uerj) A figura abaixo representa o plano inclinado ABFE, inserido em um paralelepípedo retângulo ABCDEFGH de base horizontal, com 6 m de altura CF, 8 m de comprimento BC, e 15 m de largura AB, em repouso, apoiado no solo.

Representação de plano inclinado inserido em paralelepípedo retângulo — questão Uerj

Admita um corpo de massa igual a 20 kg que desliza com atrito, em movimento retilíneo, do ponto F ao ponto B, com velocidade constante. A força de atrito, em newtons, entre a superfície desse corpo e o plano inclinado, é cerca de:

a) 50

b) 100

c) 120

d) 200

Resolução:

Alternativa C. Primeiramente calcularemos o lado FB por meio do teorema de Pitágoras:

\(FB^2=CB^2+FC^2\)

\(FB^2=8^2+6^2\)

\(FB^2=64+36\)

\(FB^2=100\)

\(FB=\sqrt{100}\)

\(FB=10\)

Depois, calcularemos o seno do ângulo de inclinação do plano no ponto B:

\(sen\ B=\frac{cateto\ oposto}{hipotenusa}\)

\(sen\ B=\frac{FC}{FB}\)

\(sen\ B=\frac{6}{10}\)

Por fim, para calcular a força de atrito, é necessário considerarmos o corpo em equilíbrio e que sobre ele estejam atuando as forças de atrito, normal e peso. Depois decompor a força peso, encontramos que a força de atrito é igual a \(P_x\) (coordenada horizontal da força peso), então:

\(f_{at}=P_x\)

\(f_{at}=P\cdot sen\ θ\)

\(f_{at}=m\cdot g\cdot 0,6\)

\(f_{at}=20\cdot 10\cdot 0,6\)

\(f_{at}=120\ N\)

Publicado por Pâmella Raphaella Melo

Artigos Relacionados

Carro em uma pista inclinada
Estudo das trajetórias curvas de um carro em uma pista inclinada.
Cinco coisas que você precisa saber sobre as leis de Newton
Clique aqui e veja quais são as cinco coisas a respeito das leis de Newton que você precisa saber e aumente seus conhecimentos em Física!
Força de Atrito
Clique aqui, saiba o que é força de atrito, conheça seus tipos e descubra quais fatores a influenciam e como calculá-la.
Força e movimento
Clique aqui e conheça a história por trás das ideias de força e movimento.
Leis de Newton
Acesse o artigo e confira uma introdução às leis de Newton, entenda os conceitos de força e aceleração, descubra aplicações, e confira exercícios resolvidos.
Plano inclinado
Clique para saber tudo sobre plano inclinado. Confira aqui o que é, seus tipos, fórmulas relacionadas, além de exercícios resolvidos sobre o assunto.
Polias
Clique aqui e entenda como as polias podem ser associadas para reduzir o esforço necessário para elevar verticalmente objetos quaisquer.
Tração
Você sabe o que é tração? Acesse e conheça a definição de tração, confira alguns casos particulares e ainda avalie o que aprendeu sobre o assunto com exercícios resolvidos.
video icon
Escrito"Matemática do Zero| Probabilidade" em fundo azul.
Matemática do Zero
Matemática do Zero| Probabilidade
Nessa aula veremos o que probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Para isso, inicaremos a aula falando o que é espaço amostral e evento.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.