Matriz quadrada
A matriz quadrada é um tipo especial de matriz. Uma matriz é classificada como quadrada quando possui o número de linhas igual ao número de colunas. A matriz quadrada possui aplicações importantes, como na resolução de sistemas lineares. Ela possui duas diagonais, a principal e a secundária, que são essenciais para se calcular o determinante da matriz. O determinante da matriz é um número associado à matriz quadrada. Podemos calculá-lo, e o método para calcular esse determinante depende do formato da matriz — se ela é de ordem 1, ordem 2 ou ordem 3.
Leia também: Matriz triangular — um tipo de matriz quadrada
Resumo sobre matriz quadrada
- A matriz quadrada é aquela que possui o número de linhas igual ao número de colunas.
- Ela possui diagonal principal e diagonal secundária.
- O determinante da matriz é um número associado a ela, exclusivo de matrizes quadradas.
- O método para calcular o determinante da matriz depende do número de linhas e colunas dessa matriz.
O que é matriz quadrada?
A matriz quadrada é a aquela que possui o número de linhas m igual ao número de colunas n. As matrizes quadradas mais comuns são as de ordem 1 (ou seja, 1 linha e 1 coluna), as de ordem 2 e as de ordem 3.
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→ matriz quadrada com 1 linha e 1 coluna → matriz quadrada com 2 linhas e 2 colunas → matriz quadrada com 3 linhas e 3 colunas
De modo geral, as matrizes quadradas são:
As matrizes acima são, respectivamente, de ordem 1, ordem 2 e ordem 3. Podemos ter matrizes quadradas de ordem maior que 3, com quantas linhas e quantas colunas forem necessárias.
Matriz quadrada: diagonal principal e diagonal secundária
Outros elementos importantes nas matrizes quadradas são a diagonal principal e a diagonal secundária.
Veja, destacados em vermelho, os elementos que ocupam a diagonal principal em uma matriz quadrada de ordem 2 e em uma de ordem 3 e note que o número da linha e o número da coluna é sempre o mesmo.
Além da principal, existe a outra diagonal, conhecida como diagonal secundária. Veja, a seguir, a diagonal secundária destacada em azul.
- Exemplo 1:
Veja os termos que compõem a diagonal principal e a diagonal secundária:
A diagonal principal é composta pelos termos:
A diagonal secundária é composta pelos termos:
- Exemplo 2:
A diagonal principal é composta pelos termos:
A diagonal secundária é composta pelos termos
Veja também: O que é matriz inversa?
Cálculo do determinante de uma matriz
O determinante é um valor associado à matriz que auxilia na resolução de problemas envolvendo matrizes. Veja, a seguir, como calcular o determinante de matrizes de ordem 1, ordem 2 e ordem 3.
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Determinante de matriz de ordem 1
Como a matriz de ordem 1 possui um único termo, o seu determinante será igual a esse termo. Chamamos de
- Exemplo:
Sendo:
Então:
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Determinante de matriz de ordem 2
Para descobrir o determinante de uma matriz de ordem 2, calculamos a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e os termos da diagonal secundária.
- Exemplo:
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Determinante de uma matriz de ordem 3
Quanto maior o número de linhas e colunas de uma matriz, mais complexos são os métodos para se calcular o seu determinante. O método mais comum para o cálculo do determinante da matriz de ordem 3 é conhecido como regra de Sarrus. Consideremos a matriz de ordem 3:
Primeiramente, repetimos ao final da matriz as suas duas primeiras colunas:
Agora, calculamos três produtos: o produto dos termos da diagonal principal e das duas diagonais paralelas a ela. Posteriormente, somamos esses três produtos e os chamamos de
Calculamos também o produto entre os termos da diagonal secundária e das outras duas diagonais paralelas a ela e somamos esses três produtos como
O determinante da matriz será a diferença entre
- Exemplo:
Calcule o determinante da matriz:
Resolução:
De início, copiamos as duas colunas ao final da matriz:
Agora, calculamos o seu determinante:
Saiba mais: Como é feita a adição e a subtração de matrizes?
Exercícios resolvidos sobre matriz quadrada
Questão 1
Uma matriz pode ser definida como matriz quadrada quando:
A) o número de linhas é igual ao quadrado do número de colunas.
B) o número de colunas é igual ao quadrado do número de linhas.
C) o número de linhas é igual ao dobro do número de colunas.
D) o número de linhas é igual ao número de colunas.
E) o número de linhas e colunas é par.
Resolução:
Alternativa D
Para que a matriz seja considerada quadrada, é necessário que o número de linhas seja igual ao número de colunas.
Questão 2
Analise a matriz quadrada a seguir. Seu determinante é
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Resolução:
Alternativa A
Calculando o determinante, temos: