Regra de Chió nos cálculos dos determinantes

Os conceitos aprendidos sobre o cálculo do determinante se aplicam com facilidade em matrizes com ordem menor ou igual a três (Exemplo: A3x3). Contudo, nem todas as matrizes serão com esta ordem. Para isso, necessitamos de um dispositivo para nos auxiliar quanto aos determinantes de matrizes com ordem maior que três.

A regra de Chió nos ajuda a construir uma matriz com determinante igual a uma matriz dada, entretanto com a ordem menor. Em uma linguagem matemática, a regra de Chió nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n através de uma matriz de ordem n-1 (uma ordem abaixo).

Existe uma condição importante para a aplicação do processo da regra de Chió, sendo que o primeiro elemento da matriz, o elemento a11 deve ser igual a 1. Tendo isso, é possível aplicar o processo da regra de Chió de modo a obter uma matriz com ordem menor.

A regra de Chió é dada da seguinte forma:


• Suprima a primeira linha e a primeira coluna da matriz.
• Dos elementos que restaram na matriz, subtraia o produto dos dois elementos suprimidos (um da linha e o outro da coluna) correspondente a este elemento restante. Por exemplo, no elemento a23 você realizará o produto do elemento da segunda linha da coluna que foi suprimida pelo elemento da terceira coluna da linha que foi suprimida.
• Com os resultados das subtrações realizadas no passo anterior, será obtida uma nova matriz, com ordem menor, entretanto com determinante igual à matriz original.

Vale ressaltar novamente que para que o determinante continue o mesmo, o a11 tem que ser igual a 1.

Para uma melhor compreensão destes passos, vejamos um exemplo utilizando o processo da regra de Chió.

Temos uma matriz quadrada de ordem 5. Sabemos que não é possível aplicar a regra de Sarrus para calcular este determinante, com isso buscaremos baixar a ordem desta matriz. Desse modo, a fim de encontrar seu valor, utilizaremos alguma propriedade de determinantes.

Veja que o primeiro elemento da matriz equivale a 1 (a11=1), logo, é possível aplicar a regra de Chió. Façamos o procedimento:




Destacamos os elementos que serão suprimidos; agora iremos montar a nossa matriz de menor ordem seguindo o segundo passo da regra:

De tal modo, obtemos o determinante da matriz inicial A5x5. Note que nenhuma das matrizes é igual, mas, pela regra de Chió, podemos afirmar que o determinante de todas elas é o mesmo.




Veja que aplicamos duas vezes a regra de Chió, mas isso foi porque o primeiro elemento era igual a 1. Em casos em que o elemento não seja igual a 1, podemos aplicar algumas propriedades de determinantes de forma a encontrar uma matriz em que o primeiro elemento seja igual a 1.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática