Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3

Para que os determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3 possam ser calculados, é fundamental conhecer alguns métodos e regras. Entende-se o determinante como um número real que está associado a uma matriz quadrada e esse número é único, ou seja, para cada matriz quadrada de ordem n temos um único número real que se associa a ela. Embora pareça ser um conteúdo muito específico, é importante lembrar que o determinante possui diversas aplicações dentro da matemática, como na determinação da equação da reta, em geometria analítica.

O cálculo de determinante possui diversas aplicações nos diferentes campos da matemática

Notação para determinantes

Considere uma matriz A quadrada, ou seja, uma matriz que possui o mesmo número de linhas e colunas. O determinante da matriz A é representado por detA ou |A|.

→ Exemplo

Determinante de matriz de ordem 1

O determinante de uma matriz A que possui só um elemento, isto é, A é uma matriz unitária é dado pelo próprio elemento.

Se A = [a₁₁] então detA = a₁₁

→ Exemplos

a) A = [-7] → detA = – 7

b) B = (π) → detB = π

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Determinante de matriz de ordem 2

O determinante de uma matriz de ordem 2 é calculado fazendo a multiplicação dos elementos da diagonal principal e subtraindo pela multiplicação dos elementos da diagonal secundária.

→ Exemplos

a) Determine o valor dos determinantes das matrizes A e B.

Portanto, detA = 0 e detB = 1

Veja também: Cálculo da matriz inversa por meio de determinantes

Determinante de matriz de ordem 3

O determinante de ordem 3 é calculado utilizando a regra de Sarrus, que consiste em quatro passos:

Passo 1 – Repetir as duas primeiras colunas ao lado da matriz.

Passo 2 – Multiplicar os elementos da diagonal principal e de suas paralelas que contêm três elementos.

Passo 3 – Multiplicar todos os elementos da diagonal secundária e de suas paralelas que contêm três elementos.

Passo 4 – Somar todos os resultados obtidos pelas multiplicações do sentido da diagonal principal e subtrair os resultados obtidos pelas multiplicações do sentido da diagonal secundária.

→ Exemplo

Calcule o determinante da matriz A.

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Passo 4

detA = 45 + 84 + 96 – 72 – 48 – 105

detA = 225 – 225 = 0

Exercícios

Questão 1 – ( U. E. Londrina – PR) A soma dos determinantes

a) quaisquer que sejam os valores reais de a e b.

b) se, e somente se, a = b

c) se, e somente se, a = – b

d) se, e somente se, a = 0

e) se, e somente se, a = b = 1

Solução:

Vamos inicialmente determinar cada um dos determinantes. Ambos são de ordem 2, logo, basta multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair esse produto do resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária.