Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3
Para que os determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3 possam ser calculados, é fundamental conhecer alguns métodos e regras. Entende-se o determinante como um número real que está associado a uma matriz quadrada e esse número é único, ou seja, para cada matriz quadrada de ordem n temos um único número real que se associa a ela. Embora pareça ser um conteúdo muito específico, é importante lembrar que o determinante possui diversas aplicações dentro da matemática, como na determinação da equação da reta, em geometria analítica.
Notação para determinantes
Considere uma matriz A quadrada, ou seja, uma matriz que possui o mesmo número de linhas e colunas. O determinante da matriz A é representado por detA ou |A|.
→ Exemplo
Leia mais: Propriedades dos determinantes: quais são e como usar?
Determinante de matriz de ordem 1
O determinante de uma matriz A que possui só um elemento, isto é, A é uma matriz unitária é dado pelo próprio elemento.
Se A = [a11] então detA = a11
→ Exemplos
a) A = [-7] → detA = – 7
b) B = (π) → detB = π
Determinante de matriz de ordem 2
O determinante de uma matriz de ordem 2 é calculado fazendo a multiplicação dos elementos da diagonal principal e subtraindo pela multiplicação dos elementos da diagonal secundária.
→ Exemplos
a) Determine o valor dos determinantes das matrizes A e B.
Portanto, detA = 0 e detB = 1
Veja também: Cálculo da matriz inversa por meio de determinantes
Determinante de matriz de ordem 3
O determinante de ordem 3 é calculado utilizando a regra de Sarrus, que consiste em quatro passos:
Passo 1 – Repetir as duas primeiras colunas ao lado da matriz.
Passo 2 – Multiplicar os elementos da diagonal principal e de suas paralelas que contêm três elementos.
Passo 3 – Multiplicar todos os elementos da diagonal secundária e de suas paralelas que contêm três elementos.
Passo 4 – Somar todos os resultados obtidos pelas multiplicações do sentido da diagonal principal e subtrair os resultados obtidos pelas multiplicações do sentido da diagonal secundária.
→ Exemplo
Calcule o determinante da matriz A.
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
detA = 45 + 84 + 96 – 72 – 48 – 105
detA = 225 – 225 = 0
Leia mais: Regra de Chió nos cálculos dos determinantes
Exercícios
Questão 1 – ( U. E. Londrina – PR) A soma dos determinantes
a) quaisquer que sejam os valores reais de a e b.
b) se, e somente se, a = b
c) se, e somente se, a = – b
d) se, e somente se, a = 0
e) se, e somente se, a = b = 1
Solução:
Vamos inicialmente determinar cada um dos determinantes. Ambos são de ordem 2, logo, basta multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair esse produto do resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária.
Como o enunciado fala sobre a soma dos determinantes:
a2 – b2 + (– a2 + b2)
a2 – b2 – a2 + b2
0
Ou seja, para quaisquer valores de a e b, a expressão sempre será igual a zero.
Resposta: Alternativa a
