Determinante

Determinante da matriz é um valor que está associado à matriz. Utilizamos o determinante para resolução de sistemas lineares, para verificar se três pontos são colineares, entre outras aplicações. Calculamos o determinante de matrizes quadradas, ou seja, matrizes que têm o mesmo número de linha e de coluna.

A regra de Sarrus é um importante método de cálculo de determinante, utilizado principalmente no cálculo de matrizes de ordem 3 devido a sua complexidade, mas também no caso de matrizes de ordem 2. Existem algumas propriedades importantes para o cálculo de determinantes.

Veja também: Teorema de Laplace — um método de cálculo do valor do determinante de matrizes quadradas

Resumo sobre determinantes

• O determinante de uma matriz é um número real associado à matriz.
• Somente matrizes quadradas possuem determinante.
• O determinante da matriz de ordem 1 é igual ao único elemento existente na matriz.
• Para calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e 3, utilizamos a regra de Sarrus.
• Propriedades dos determinantes:
  • Se uma linha ou uma coluna da matriz possui todos os elementos iguais a zero, o determinante da matriz é zero.
  • Se duas linhas da matriz forem iguais, o determinante é zero.
  • Se as linhas ou as colunas forem proporcionais, o determinante é zero.
  • Dada uma matriz A e uma constante k, temos que:

\(det\left(k\cdot A\right)=k^n\cdot det\left(A\right) \)

• • O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos seus determinantes.

Notação de determinantes

Sabendo que o determinante de uma matriz é associado a uma matriz e que apenas as matrizes quadradas possuem determinantes, conhecendo a matriz A, o cálculo do determinante da matriz A é denotado por det(A). Quando listamos o termo da matriz, o determinante dessa matriz é representado pelos elementos da matriz entre duas barras retas. Por exemplo, em uma matriz 2x2, temos que:

\(det(A) = \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right|\)

Como calcular o determinante de uma matriz?

• Determinante da matriz de ordem 1

Começando pelo determinante mais simples, uma matriz de ordem 1 é aquela que possui somente 1 linha e 1 coluna, logo, ela tem um único termo. Em uma matriz de ordem 1, o seu determinante será igual ao seu único termo, ou seja:

\(A = [a_{11}]\)

\(det(A) = \left|a_{11}\right|=a_{11}\)

Exemplo:

Dada a matriz a seguir, calcule o seu determinante.

\(A = [2]\)

Resolução:

\(det(A) = |2| = 2\)

• Determinante da matriz de ordem 2

Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, calcula-se a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal da matriz e o produto dos termos da diagonal secundária da matriz. Esse modo de efetuar o cálculo é conhecido como regra de Sarrus. Assim, dada a matriz quadrada:

\(\ A=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]\)

• A diagonal principal é composta pelos termos \(a_{11\ }\) e \(a_{22}\).
• A diagonal secundária é composta pelos termos \(a_{21}\) e \(a_{12}\) .

Então o determinante da matriz A é igual a:

\(det\left(A\right)=a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}\)

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz B.

\(B=\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\\\end{matrix}\right)\)

Resolução:

\(det\left(B\right)=5\cdot3-2\cdot4=15-8=7\)

• Determinante da matriz de ordem 3

O determinante de uma matriz de ordem 3 é um pouco mais trabalhoso do que o anterior (de ordem 2). Para calculá-lo, utilizamos o mesmo método conhecido como regra de Sarrus, mas é necessário atenção. Veja, a seguir, como aplicar a regra de Sarrus nesse caso.

• Regra de Sarrus e o cálculo do determinante da matriz de ordem 3

A regra de Sarrus é o método utilizado para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3. Primeiro faremos a representação algébrica dessa matriz.

\(A=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right]\)

O determinante da matriz:

\(det(A) = D_p-D_s\)

O primeiro passo é duplicar a primeira e segunda colunas:

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right]\begin{matrix}\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{matrix}\\\end{matrix}\)

A diagonal principal da matriz é a que contém os termos:

\(a_{11},a_{22} e a_{33}\)

Note que há mais duas diagonais paralelas a ela:

Agora multiplicaremos os termos de cada uma das três diagonais e calcularemos a soma entre eles:

Agora calcularemos o produto dos termos da diagonal secundária e das outras duas diagonais paralelas a ela:

Então o determinante da matriz A é dado por:

\(det\left(A\right)=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-\left(a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}+a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}+a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}\right)\)

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz B

\(B=\left[\begin{matrix}-2&-1&0\\4&3&2\\1&5&2\\\end{matrix}\right]\)

Resolução:

\(det(B)=\left|\begin{matrix}-2&-1&0\\4&3&2\\1&5&2\\\end{matrix}\right|\begin{matrix}-2&-1\\4&3\\1&5\\\end{matrix}\)

\(det\left(A\right)=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-\left(a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}+a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}+a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}\right)\)

• Videoaula sobre o determinante de matriz de ordens 1, 2 e 3

Propriedades dos determinantes

As propriedades dos determinantes ajudam a simplificar os cálculos e até mesmo dispensam o processo algébrico utilizado para encontrar o determinante.

• 1ª propriedade: se uma linha ou uma coluna da matriz possui todos os elementos igual a zero, então o determinante da matriz será igual a zero.

Exemplo:

\(det\left(A\right)=\left|\begin{matrix}0&0\\2&3\\\end{matrix}\right|=0\)

• 2ª propriedade: se duas linhas da matriz forem iguais, então o seu determinante é zero.

Exemplo:

\(det(B)=\left|\begin{matrix}1&2&3\\9&-2&1\\1&2&3\\\end{matrix}\right|\ =\ 0\ \)

• 3ª propriedade: se as linhas ou as colunas forem proporcionais, então o determinante da matriz é zero.

Exemplo:

\(det(B)=\left|\begin{matrix}1&2&3\\9&-2&1\\2&4&9\\\end{matrix}\right|=0\)

Note que a linha 3 da matriz é igual ao dobro da linha 1, logo, o determinante da matriz é zero.

• 4ª propriedade: dadas uma matriz A e uma constante k, temos que:

\(det\left(k\cdot A\right)=k^n\cdot det\left(A\right) \)

O n é a ordem da matriz.

Exemplo:

\(det\left(A\right)=\left|\begin{matrix}3&4\\1&2\\\end{matrix}\right|=2\)

\(det\left(3\cdot A\right)=\left|\begin{matrix}9&12\\3&6\\\end{matrix}\right|=54-36=18\ \)

Sabemos que essa matriz é de ordem 2, logo, temos n = 2. Note então que:

\(det\left(3\cdot A\right)=3^2\cdot det\left(A\right)=9\cdot2=18\)

• 5ª propriedade: o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos seus determinantes.

\(det\left(A\cdot B\right)=det\left(A\right)\cdot det\left(B\right)\)

Exemplo:

Veja o cálculo do determinante do produto entre as matrizes A e B.

\(A=\left[\begin{matrix}5&4\\3&2\\\end{matrix}\right]\ e\ B=\left[\begin{matrix}2&1\\4&3\\\end{matrix}\right]\)

\(det\left(A\right)=\left|\begin{matrix}5&4\\3&2\\\end{matrix}\right|=5\ \cdot2\ -\ 4\ \cdot3\ =\ 10-12=-2\)

\(det\left(B\right)=\left|\begin{matrix}2&1\\4&3\\\end{matrix}\right|=2\cdot3-1\cdot4=6-4=2\ \)

Então o determinante do produto entre as matrizes A e B é igual a:

\(det\left(A\cdot B\right)=det\left(A\right)\cdot det\left(B\right)=-2\cdot2=-4\ \)

Leia também: Teorema de Jacobi — o teorema que diminui os valores dos elementos de uma matriz quadrada

Exercícios resolvidos sobre determinantes

Questão 1

Qual deve ser o valor de x para que a matriz \(A=\left(\begin{matrix}x+3&4\\x&3\\\end{matrix}\right)\)possua determinante igual a 4?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolução:

Alternativa E

Analisando o determinante da matriz A, temos que:

\(det\left(A\right)=\left|\begin{matrix}x+3&4\\x&3\\\end{matrix}\right|\)

\(det\left(A\right)=\left(x+3\right)\cdot3-4x\)

\(det\left(A\right)=3x+9-4x\)

\(det\left(A\right)=-x+9\)

Como

\(det\left(A\right)=4\)

Então

\(-x+9=4\ \)

\(-x=4-9\)

  \(\ \ -x=-5\ \left(-1\right)\)

\(x=5\)

Questão 2

(Anac – Esaf) Dada a matriz A abaixo, o determinante da matriz 2A é igual a:

\(A=\left[\begin{matrix}2&1&3\\1&1&1\\0&1&4\\\end{matrix}\right]\)

A) 40

B) 10

C) 18

D) 16

E) 36

Resolução:

Alternativa A

A matriz 2A será:

\(2A=\left[\begin{matrix}4&2&6\\2&2&2\\0&2&8\\\end{matrix}\right]\)

Calculando o determinante:

\(det(A)=4\cdot2\cdot8+2\cdot2\cdot0+6\cdot2\cdot2-0\cdot2\cdot6-2\cdot2\cdot4-8\cdot2\cdot2=40\ \)