Primeira fórmula de Moivre
A primeira fórmula de Moivre é usada para calcular potências de números complexos na forma polar ou trigonométrica. Vale lembrar o que é a forma trigonométrica e como a multiplicação de números complexos nessa forma deve ser feita para compreender melhor a potenciação de números complexos em sua forma polar.
Números complexos na forma polar
Dado o número complexo z = a + bi, o ângulo α, formado pelo vetor que representa esse número com o eixo x no sentido anti-horário, é dado por:
cosα = a
p
Nessa fórmula, p é o comprimento do vetor que representa o complexo z, também chamado módulo de z.
Além disso, esse mesmo ângulo também pode ser dado por:
senα = b
p
Observe que:
b = senα·p
e que:
a = cosα·p
Tomando o complexo z = a + bi e substituindo nele as últimas duas expressões, temos:
z = cosα·p + senα·p·i
z = p(cosα + senα·i)
Essa é justamente a forma polar do complexo z.
Multiplicação de complexos na forma polar
Dados os números complexos z = p1(cosα + senα·i) e u = p2(cosβ + senβ·i), a multiplicação entre eles pode ser feita por meio da seguinte fórmula:
z·u = p1·p2[cos(α + β) + isen(α + β)]
Essa multiplicação também pode ser feita quando houver três ou mais fatores.
Primeira fórmula de Moivre
A primeira fórmula de Moivre é usada para calcular potências de números complexos na forma polar. Lembre-se de que uma potência é um produto em que todos os fatores são o mesmo número, portanto, ao calcular z3, potência do número complexo z = a + bi, devemos fazer:
z3 = z·z·z
Lembrando que o complexo z, na forma polar, pode ser escrito como:
z = p(cosα + senα·i)
A mesma potência anterior pode ser escrita da seguinte maneira:
z3 = z·z·z = p·(cosα + senα·i)·p·(cosα + senα·i)·p·(cosα + senα·i)
z3 = p·p·p·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i) [equação I]
Expandindo os fatores (cosα + senα·i)·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i), por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado por meio das fórmulas de adição de arcos e das propriedades do número complexo i, encontraremos o seguinte resultado:
(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i) = cos(3α) + isen(3α)
Substituindo esse resultado na equação I, temos:
z3 = p3·[cos(3α) + isen(3α)]
O mesmo pode ser feito para a potência zn. O resultado será:
zn = pn·[cos(nα) + isen(nα)]
Essa é justamente a primeira fórmula de Moivre.