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Transformações trigonométricas: fórmulas de adição

As transformações trigonométricas são métodos que podem ser usados para realizar operações entre razões trigonométricas, como as fórmulas de adição.
As fórmulas de adição são usadas em operações entre razões trigonométricas
As fórmulas de adição são usadas em operações entre razões trigonométricas

As transformações trigonométricas são fórmulas que podem ser usadas para calcular algumas das operações básicas envolvendo razões trigonométricas, como o seno da soma de dois ângulos.

Em trigonometria, o seno, cosseno ou tangente da soma (ou subtração) de dois arcos não pode ser feita com as mesmas regras dos números reais. Observe, por exemplo, o seno da adição entre dois ângulos de 30°:

Sen(30° + 30°) = sen60° = 3
                                       2

Agora, se tentarmos fazer a soma separadamente, encontraremos o seguinte resultado:

Sen(30° + 30°) = sen30° + sen30° = 1 + 1 = 1
                                                2    2

Cada uma das somas tem um resultado, mas apenas uma está correta e é a primeira, em que sen(30° + 30°) = sen60°. Para garantir a forma correta e possibilitar outros cálculos dentro da trigonometria, existem as fórmulas de adição de arcos.

Os valores dos senos, cosseno e tangentes dos ângulos em questão podem ser obtidos na tabela de valores trigonométricos a seguir:

Caso os ângulos não sejam esses, uma tabela completa com as razões trigonométricas pode ser encontrada clicando aqui.

Fórmulas do seno da adição e da subtração de dois arcos

Dados dois arcos quaisquer, a e b, seu seno da soma é dado pela seguinte expressão:

sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa

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Já o seno da diferença desses dois arcos é dado pela seguinte expressão:

sen(a – b) = sena·cosb – senb·cosa

Exemplo:

sen75° = sen(45° + 30°) = sen45°·cos30° + sen30°·cos45°

sen75° = √2·√3 + 1·√2
               2   2     2  2 

sen75° = √(2·3) + √2
                2        2

sen75° = √6 + √2
             2

Fórmulas do cosseno da adição e da subtração de dois arcos

Dados dois arcos quaisquer, a e b, seu cosseno da soma é dado pela seguinte expressão:

cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb

Já o cosseno da diferença desses dois arcos é dado pela expressão:

cos(a – b) = cosa·cosb + sena·senb

Exemplo:

Cos15° = cos(45° – 30°) = cos45°·cos30° + sen45°·sen30°

Cos15° = √2·√3 + √2·1
                2   2      2  2

Cos15° = √2√3 + √2
                2        2

Cos15° = √(2·3) + √2
                 2        2

Cos15° = √6 + √2
               2

Fórmulas da tangente da adição e da subtração de dois arcos

Dados dois arcos, a e b, sua tangente da soma é dada pela fórmula a seguir:

tg(a + b) = tga + tgb
                1 – tga·tgb

A tangente da diferença desses dois arcos é dada pela seguinte expressão:

tg(a – b) = tga tgb
               1 + tga·tgb

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva
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