Whatsapp icon Whatsapp

Transformações trigonométricas: fórmulas de adição

As transformações trigonométricas são métodos que podem ser usados para realizar operações entre razões trigonométricas, como as fórmulas de adição.
As fórmulas de adição são usadas em operações entre razões trigonométricas
As fórmulas de adição são usadas em operações entre razões trigonométricas

As transformações trigonométricas são fórmulas que podem ser usadas para calcular algumas das operações básicas envolvendo razões trigonométricas, como o seno da soma de dois ângulos.

Em trigonometria, o seno, cosseno ou tangente da soma (ou subtração) de dois arcos não pode ser feita com as mesmas regras dos números reais. Observe, por exemplo, o seno da adição entre dois ângulos de 30°:

Sen(30° + 30°) = sen60° = 3
                                       2

Agora, se tentarmos fazer a soma separadamente, encontraremos o seguinte resultado:

Sen(30° + 30°) = sen30° + sen30° = 1 + 1 = 1
                                                2    2

Cada uma das somas tem um resultado, mas apenas uma está correta e é a primeira, em que sen(30° + 30°) = sen60°. Para garantir a forma correta e possibilitar outros cálculos dentro da trigonometria, existem as fórmulas de adição de arcos.

Os valores dos senos, cosseno e tangentes dos ângulos em questão podem ser obtidos na tabela de valores trigonométricos a seguir:

Caso os ângulos não sejam esses, uma tabela completa com as razões trigonométricas pode ser encontrada clicando aqui.

Fórmulas do seno da adição e da subtração de dois arcos

Dados dois arcos quaisquer, a e b, seu seno da soma é dado pela seguinte expressão:

sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Já o seno da diferença desses dois arcos é dado pela seguinte expressão:

sen(a – b) = sena·cosb – senb·cosa

Exemplo:

sen75° = sen(45° + 30°) = sen45°·cos30° + sen30°·cos45°

sen75° = √2·√3 + 1·√2
               2   2     2  2 

sen75° = √(2·3) + √2
                2        2

sen75° = √6 + √2
             2

Fórmulas do cosseno da adição e da subtração de dois arcos

Dados dois arcos quaisquer, a e b, seu cosseno da soma é dado pela seguinte expressão:

cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb

Já o cosseno da diferença desses dois arcos é dado pela expressão:

cos(a – b) = cosa·cosb + sena·senb

Exemplo:

Cos15° = cos(45° – 30°) = cos45°·cos30° + sen45°·sen30°

Cos15° = √2·√3 + √2·1
                2   2      2  2

Cos15° = √2√3 + √2
                2        2

Cos15° = √(2·3) + √2
                 2        2

Cos15° = √6 + √2
               2

Fórmulas da tangente da adição e da subtração de dois arcos

Dados dois arcos, a e b, sua tangente da soma é dada pela fórmula a seguir:

tg(a + b) = tga + tgb
                1 – tga·tgb

A tangente da diferença desses dois arcos é dada pela seguinte expressão:

tg(a – b) = tga tgb
               1 + tga·tgb

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva
Assista às nossas videoaulas

Artigos Relacionados

Conjunto dos números reais
Acesse e descubra quais são os elementos que compõem o conjunto dos números reais.
Cálculo das razões trigonométricas
Utilizando as relações seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo.
Demonstração da lei dos senos
Clique para obter uma demonstração da lei dos senos e aprofunde seus conhecimentos relacionados a triângulos que não possuem ângulo reto.
Forma Geral de Arcos Côngruos
Forma geral de arcos côngruos e determinação principal de arcos.
Lei dos cossenos
Clique aqui, saiba o que é a lei dos cossenos, conheça suas fórmulas e veja quais são suas aplicações.
Razões trigonométricas
Veja quais são as principais razões trigonométricas e exemplos de problemas que cobram esse tipo de conteúdo. Conheça também os ângulos notáveis.
Seno, cosseno e tangente
Clique e aprenda o que é seno, cosseno e tangente, além de conferir alguns exemplos dessas razões trigonométricas!
Tabelas de razões trigonométricas
Clique para aprender a utilizar tabelas de razões trigonométricas e para descobrir os valores de seno, cosseno e tangente para ângulos agudos!

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.