Produto com polinômios

Polinômios são expressões algébricas com monômios, as quatro operações: multiplicação, divisão, adição e subtração são utilizadas nessas expressões. Quando a operação é de multiplicação, temos o produto com polinômios. Para fazer esse produto podemos utilizar o método tradicional, aplicando a propriedade distributiva, ou podemos fazer por dois outros métodos práticos.

Vamos relembrar inicialmente como se faz o produto com polinômios utilizando a propriedade distributiva:

Dados os polinômios: J(x) = x⁴ + 2x³+ 3x – 2 e Q(x) = x³+ 2x – 1, calcule J(x) . Q(x).

J(x) . Q(x) =

= (x⁴ + 2x³+ 3x – 2) . (x³+ 2x – 1) = Efetue o produto

= x⁷ + 2x⁵ – x⁴ + 2x⁶ + 4x⁴ – 2x³ + 3x⁴ +6x² – 3x – 2x³ – 4x + 2 = Agrupe os termos semelhantes

= x⁷ + 2x⁵ + 2x⁶ – x⁴ + 4x⁴ + 3x⁴ - 2x³ – 2x³ +6x² – 4x – 3x + 2 = (Efetue as adições e subtrações dos termos semelhantes)

= x⁷ + 2x⁶ + 2x⁵ + 6x⁴ – 4x³ +6x² – 7x + 2

Acabamos de relembrar o produto com polinômios pela propriedade distributiva. Agora vamos utilizar o mesmo exemplo e resolvê-lo pelo primeiro e segundo método prático.

Primeiro método prático

Dado os polinômios: J(x) = x⁴ + 2x³+ 3x – 2 e Q(x) = x³+ 2x – 1, calcule J(x) . Q(x).

Nesse método iremos utilizar o algorítimo da multiplicação.

Monte o algoritmo: o polinômio de maior grau deve ser o primeiro fator, o segundo fator é o outro polinômio.

x⁴ + 2x³+ 3x – 2 → Polinômio J(x)

x³ + 2x – 1_____ → Polinômio Q(x)

x⁷ + 2x⁶ + 0x⁵ + 3x⁴ - 2x³ + 0x² + 0x + 0 → x³ . J(x) – O polinômio formado deve ser completo.

    + 0x⁶ + 2x⁵ + 4x⁴ + 0x³ + 6x² - 4x + 0→ 2x . J(x) - O polinômio formado deve ser completo.

                0x⁵ – 1x⁴ - 2x³ + 0x² - 3x + 2 → -1 . J(x) - O polinômio formado deve ser completo.

x⁷ + 2x⁶ + 2x⁵ + 6x⁴ – 4x³ + 6x² - 7x + 2 → J(x) . Q(x) – Produto

Então, o produto com polinômios de J(x) . Q(x) = 3x⁷+ 6x⁶ + 2x⁵ + 12x^{4 –} 8x³ + 6x² - 7x + 2

Segundo método prático

Dado os polinômios: J(x) = x⁴ + 2x³+ 3x – 2 e Q(x) = x³+ 2x – 1, calcule J(x) . Q(x).

No segundo método prático utilizamos a estrutura de tabela. Antes de colocar cada monômio na tabela devemos escrever o polinômio completo para J(x) e Q(x).

J(x) = x⁴ + 2x³+ 0x² + 3x – 2 → Polinômio completo J(x).

Q(x) = x³+ 0x² + 2x – 1 → Polinômio completo Q(x).

Como já realizamos os produtos, devemos realizar a adição dos termos nas diagonais traçadas.

J(x) . Q(x) = x⁷+ 2x⁶ + 2x⁵ + 6x^{4 –} 4x³ + 6x² - 7x + 2