Multiplicação de polinômios

A multiplicação de polinômios é realizada utilizando-se a propriedade distributiva. Existem três casos diferentes de multiplicação de polinômio:

• multiplicação de um polinômio por um número natural;
• multiplicação de um polinômio por um monômio;
• multiplicação de um polinômio por outro polinômio.

Para compreender a multiplicação entre polinômios, é fundamental aprender a multiplicação entre monômios. Na multiplicação de monômios, multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes de variáveis iguais.

Leia também: Propriedade distributiva na resolução de equações

Como fazer a multiplicação de polinômios?

Para fazer a multiplicação de polinômios, primeiro analisamos em qual dos casos essa multiplicação se encontra, pois existem três casas diferentes de multiplicação de polinômios, são elas: a multiplicação de um polinômio por um número natural, a multiplicação de um polinômio por um monômio, a multiplicação de um polinômio por outro polinômio.

Nos três casos, utilizamos a propriedade distributiva para realizar a multiplicação, realizando na prática a multiplicação entre os monômios envolvidos na sua operação. Veja, a seguir, como calcular cada um dos casos de multiplicação entre polinômios.

→ Multiplicação entre um polinômio e um número real

Quando queremos multiplicar um polinômio por um número real, é necessário calcular a multiplicação desse número real por cada um dos termos desse polinômio, ou seja, utilizaremos a propriedade distributiva multiplicando um número real por cada um dos meus monômios. Nesse caso, basta multiplicar o coeficiente do monômio pelo número real desejado.

Exemplo

Calcule a multiplicação entre 3 e o polinômio \(2x²+5y –12ab –4\).

Resolução

Primeiro escreveremos essa multiplicação:

\(3\cdot(2x²+5y –12ab – 4) \)

Agora aplicaremos a propriedade distributiva multiplicando por 3 cada um dos monômios.

\(3\cdot2x²=6x²\)

\(3\cdot5y=15y\)

\(3\cdot(-12ab)=-36ab\ \)

\(3\cdot(-4)=-12\)

Então encontramos como resultado da multiplicação o polinômio:

\(6x^2+\ 15y\ – 36ab –12\)

→ Multiplicação de um polinômio por um monômio

A multiplicação de um polinômio por um monômio também é feita pelo uso da propriedade distributiva para encontrar a solução: multiplicaremos o monômio por cada um dos termos do polinômio. Nesse caso, é importante prestar atenção na multiplicação entre as partes literais dos termos do polinômio, com o monômio que está multiplicando o polinômio.

Exemplo

Calcule a multiplicação entre o monômio 2ab e o polinômio \(4xa\ – 3b3+5ab+2y –3\).

Resolução

Para calcular a multiplicação, primeiro representaremos essa operação:

\(2ab\cdot(4xa\ – 3b3+5ab+2y –3)\)

Agora, aplicando a propriedade distributiva, multiplicaremos o monômio por cada um dos termos do polinômio.

Começando por:

\(2ab\cdot\ 4a=8a²b\)

Importante: Vale ressaltar que, na multiplicação entre dois monômios, quando a mesma variável aparece nos dois termos, somamos os seus expoentes, como foi feito com a variável a. Como ela aparecia nos dois termos, ela ficará elevada a 2; quando a variável aparece em só um dos termos, apenas a conservamos na parte literal da resposta.

Calculando o restante das multiplicações, temos que:

\(2ab\cdot\left(-3b^3\right)=-6ab^4\)

\(2ab\cdot5ab=10a^2b^2\)

\(2ab\ \cdot2y\ =\ 4aby\)

\(2ab\cdot\left(-3\right)=-6ab\)

Então encontramos como solução o polinômio:

\(8a^2b-6ab^4+10a^2b^2+4aby-6ab\)

→ Multiplicação de polinômio por polinômio

A multiplicação de polinômio por polinômio também utiliza a propriedade distributiva, assim, multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por cada um dos termos do segundo polinômio.

Exemplo

Calcule a multiplicação:

\((2x\ +\ 4a)\ \cdot\ (3xa² - 5) \)

Resolução

Para calcular a multiplicação entre esses dois polinômios, multiplicaremos 2x por \(\left(3x^2a^2-5\right)\). Como foi feito na multiplicação de um monômio por um polinômio, também multiplicaremos 4a por \(\left(3xa^2-5\right)\).

Então temos que:

\(\left(2x+4a\right)\cdot\left(3xa^2-5\right)=2x\cdot3xa^2+2x\cdot\left(-5\right)+4a\cdot3xa^2+4a\cdot\left(-5\right)\)

\(\left(2x+4a\right)\cdot\left(3xa^2-5\right)=6x^2a^2-10x+12xa^3-10a\)

Veja também: Fatoração de polinômios — como fazer?

Exercícios resolvidos sobre multiplicação de polinômios

Questão 1

(Enem) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).

Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:

A) 2xy

B) 15 − 3x

C) 15 − 5y

D) -5y − 3x

E) 5y + 3x − xy

Resolução:

Alternativa E

Primeiro calcularemos a área inicial do forro, que é:

\(A=3\cdot5=15\)

Sabemos que, após perder a área em destaque, a nova área do forro é dada por:

\(A_N=\left(5-x\right)\left(3-y\right)\)

Calculando a multiplicação, temos que:

\(A_N=15-5y-3x+xy\)

Sendo assim, a área perdida de forro é a diferença entre a área inicial e a nova área:

\(A-A_N=15-\left(15-5y-3x+xy\right)\)

\(A-A_N=15-15+5y+3x-xy\)

\(A-A_N=5y+3x-xy\)

Então a área perdida é representada pelo polinômio 5y + 3x – xy.

Questão 2

Um triângulo retângulo possui catetos medindo 4x + 6 e 2x + 8. Nessas condições, a área desse triângulo é dada pelo polinômio:

A) 8x² + 48

B) 6x² + 8x + 14

C) 8x² + 12x + 4

D) 8x² + 28x + 48

E) 4x² + 14x + 24

Resolução:

Alternativa E

Para calcular a área de um triângulo retângulo, multiplicamos os seus catetos e dividimos por 2, logo, temos que:

\(A=\frac{\left(4x+6\right)\left(2x+8\right)}{2}\)

\(A=\frac{8x^2+16x+12x+48}{2}\)

\(A=4x^2+8x+6x+24\)

\(A=4x^2+14x+24\)