Multiplicação de polinômios
A multiplicação de polinômios é realizada utilizando-se a propriedade distributiva. Existem três casos diferentes de multiplicação de polinômio:
- multiplicação de um polinômio por um número natural;
- multiplicação de um polinômio por um monômio;
- multiplicação de um polinômio por outro polinômio.
Para compreender a multiplicação entre polinômios, é fundamental aprender a multiplicação entre monômios. Na multiplicação de monômios, multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes de variáveis iguais.
Leia também: Propriedade distributiva na resolução de equações
Como fazer a multiplicação de polinômios?
Para fazer a multiplicação de polinômios, primeiro analisamos em qual dos casos essa multiplicação se encontra, pois existem três casas diferentes de multiplicação de polinômios, são elas: a multiplicação de um polinômio por um número natural, a multiplicação de um polinômio por um monômio, a multiplicação de um polinômio por outro polinômio.
Nos três casos, utilizamos a propriedade distributiva para realizar a multiplicação, realizando na prática a multiplicação entre os monômios envolvidos na sua operação. Veja, a seguir, como calcular cada um dos casos de multiplicação entre polinômios.
→ Multiplicação entre um polinômio e um número real
Quando queremos multiplicar um polinômio por um número real, é necessário calcular a multiplicação desse número real por cada um dos termos desse polinômio, ou seja, utilizaremos a propriedade distributiva multiplicando um número real por cada um dos meus monômios. Nesse caso, basta multiplicar o coeficiente do monômio pelo número real desejado.
Exemplo
Calcule a multiplicação entre 3 e o polinômio 2x²+5y–12ab–4.
Resolução
Primeiro escreveremos essa multiplicação:
3⋅(2x²+5y–12ab–4)
Agora aplicaremos a propriedade distributiva multiplicando por 3 cada um dos monômios.
3⋅2x²=6x²
3⋅5y=15y
3⋅(−12ab)=−36ab
3⋅(−4)=−12
Então encontramos como resultado da multiplicação o polinômio:
6x2+ 15y –36ab–12
→ Multiplicação de um polinômio por um monômio
A multiplicação de um polinômio por um monômio também é feita pelo uso da propriedade distributiva para encontrar a solução: multiplicaremos o monômio por cada um dos termos do polinômio. Nesse caso, é importante prestar atenção na multiplicação entre as partes literais dos termos do polinômio, com o monômio que está multiplicando o polinômio.
Exemplo
Calcule a multiplicação entre o monômio 2ab e o polinômio 4xa –3b3+5ab+2y–3.
Resolução
Para calcular a multiplicação, primeiro representaremos essa operação:
2ab⋅(4xa –3b3+5ab+2y–3)
Agora, aplicando a propriedade distributiva, multiplicaremos o monômio por cada um dos termos do polinômio.
Começando por:
2ab⋅ 4a=8a²b
Importante: Vale ressaltar que, na multiplicação entre dois monômios, quando a mesma variável aparece nos dois termos, somamos os seus expoentes, como foi feito com a variável a. Como ela aparecia nos dois termos, ela ficará elevada a 2; quando a variável aparece em só um dos termos, apenas a conservamos na parte literal da resposta.
Calculando o restante das multiplicações, temos que:
2ab⋅(−3b3)=−6ab4
2ab⋅5ab=10a2b2
2ab ⋅2y = 4aby
2ab⋅(−3)=−6ab
Então encontramos como solução o polinômio:
8a2b−6ab4+10a2b2+4aby−6ab
→ Multiplicação de polinômio por polinômio
A multiplicação de polinômio por polinômio também utiliza a propriedade distributiva, assim, multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por cada um dos termos do segundo polinômio.
Exemplo
Calcule a multiplicação:
(2x + 4a) ⋅ (3xa²−5)
Resolução
Para calcular a multiplicação entre esses dois polinômios, multiplicaremos 2x por (3x2a2−5). Como foi feito na multiplicação de um monômio por um polinômio, também multiplicaremos 4a por (3xa2−5).
Então temos que:
(2x+4a)⋅(3xa2−5)=2x⋅3xa2+2x⋅(−5)+4a⋅3xa2+4a⋅(−5)
(2x+4a)⋅(3xa2−5)=6x2a2−10x+12xa3−10a
Veja também: Fatoração de polinômios — como fazer?
Exercícios resolvidos sobre multiplicação de polinômios
Questão 1
(Enem) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:
A) 2xy
B) 15 − 3x
C) 15 − 5y
D) -5y − 3x
E) 5y + 3x − xy
Resolução:
Alternativa E
Primeiro calcularemos a área inicial do forro, que é:
A=3⋅5=15
Sabemos que, após perder a área em destaque, a nova área do forro é dada por:
AN=(5−x)(3−y)
Calculando a multiplicação, temos que:
AN=15−5y−3x+xy
Sendo assim, a área perdida de forro é a diferença entre a área inicial e a nova área:
A−AN=15−(15−5y−3x+xy)
A−AN=15−15+5y+3x−xy
A−AN=5y+3x−xy
Então a área perdida é representada pelo polinômio 5y + 3x – xy.
Questão 2
Um triângulo retângulo possui catetos medindo 4x + 6 e 2x + 8. Nessas condições, a área desse triângulo é dada pelo polinômio:
A) 8x² + 48
B) 6x² + 8x + 14
C) 8x² + 12x + 4
D) 8x² + 28x + 48
E) 4x² + 14x + 24
Resolução:
Alternativa E
Para calcular a área de um triângulo retângulo, multiplicamos os seus catetos e dividimos por 2, logo, temos que:
A=(4x+6)(2x+8)2
A=8x2+16x+12x+482
A=4x2+8x+6x+24
A=4x2+14x+24