Tangente
A tangente é uma posição relativa de duas figuras geométricas, por exemplo, uma reta tangente à circunferência, ou duas circunferências tangentes uma à outra, entre outros. Geometricamente, tangenciar significa tocar em um único ponto.
De modo geral, a tangente de um ângulo é a divisão entre o seno e o cosseno desse ângulo. Podemos calcular também a tangente de um ângulo de um triângulo retângulo que é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
Na trigonometria, a tangente é estudada como uma função. Ao desenharmos o círculo trigonométrico, assim como a reta tangente a ele, passando pelo ponto (1,0), é possível realizar o estudo da função tangente.
Leia também: Quais são as posições relativas de duas retas?
Resumo sobre tangente
- A tangente é a posição de duas figuras geométricas quando possuem um único ponto em comum.
- De modo geral, a tangente de um ângulo é a divisão entre o seno e o cosseno desse ângulo.
- Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
- As tangentes dos ângulos notáveis são:
- A tangente é estudada também como uma função trigonométrica.
- O valor da função tangente de um ângulo pode ser obtido dividindo o seno pelo cosseno.
- São três as principais razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente.
O que é a tangente?
A tangente estudada na geometria é a posição de duas figuras geométricas quando possuem um único ponto em comum. Podemos ter uma reta tangente a uma circunferência, duas circunferências tangentes entre si, entre outras formas geométricas.
O ponto T é conhecido como ponto de tangência, o único ponto que a reta e a circunferência possuem em comum.
O que é a tangente de um ângulo?
A tangente de um ângulo é calculada quando construímos o ciclo trigonométrico de raio 1 e traçamos a reta que passa pelo ponto (1,0), conhecida como reta tangente ao ciclo. Considerando um ângulo α, a tangente desse ângulo é igual ao comprimento do segmento que liga o ponto (1,0), representado na imagem a seguir pelo ponto A até o ponto P.
De modo geral, para todo ângulo no ciclo trigonométrico, ao traçarmos o segmento que vai da origem até o ponto P pertencente à reta tangente, encontraremos a tangente do ângulo calculando a distância entre o ponto A e o ponto P.
Tangente de um ângulo interno de um triângulo retângulo
A tangente de um ângulo interno do triângulo retângulo (que possui um ângulo reto) também é um cálculo bastante comum. Para que não seja necessário recorrer ao ciclo trigonométrico, encontramos o valor da tangente de um ângulo interno ao triângulo quando calculamos a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente a esse ângulo. Observe o triângulo retângulo a seguir:
Para representar a tangente de um de seus ângulos, utilizamos as siglas tg ou então tan, logo, no triângulo representado acima, temos que:
O que é a tangente dos ângulos notáveis?
A tangente dos ângulos notáveis é a tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º. O valor das razões trigonométricas desses ângulos é o mais utilizado para resolver situações-problema envolvendo a Matemática. Durante o estudo da trigonometria, o valor das razões trigonométricas desses ângulos é importante. Então temos que:
Função tangente
A função tangente é a função com lei de formação f(x) = tg(x), em que x é a medida do ângulo em radianos, e em que x é um número real e diferente de
Razões trigonométricas
Existem três principais razões trigonométricas, são elas, o seno, o cosseno e a tangente:
- Seno: é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de um triângulo.
- Cosseno: é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa do triângulo.
- Tangente: é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente do ângulo.
Veja também: Secante, cossecante e cotangente — as razões trigonométricas inversas ao seno, ao cosseno e à tangente
Exercícios resolvidos sobre tangente
Questão 1
Um triângulo retângulo possui lados medindo 8 cm, 6 cm e 10 cm. Se o cateto oposto ao ângulo x é o maior dos catetos, então podemos afirmar que a tangente do ângulo x é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
Resolução:
Alternativa D
Como a hipotenusa é sempre o maior lado, então a sua medida é de 10 cm, portanto, sabemos que 8 cm é a medida do cateto oposto ao ângulo x. Já o cateto adjacente a esse ângulo mede 6 cm, então temos que:
Questão 2
Duas circunferências foram desenhadas de modo que elas se tocam em um único ponto. Sobre a posição relativa dessas circunferências, podemos dizer que elas são:
A) concêntricas
B) concorrentes
C) coincidentes
D) tangentes
E) secantes
Resolução:
Alternativa D
Quando duas circunferências possuem um único ponto em comum, a posição relativa entre elas é de circunferências tangentes.
Fontes
CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Fundamentos de Trigonometria. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2007.
SANTOS, Manoel Ferreira dos; MAIA JR., Adolfo. Trigonometria para o Ensino Médio. São Paulo: Editora do Brasil, 2013.