Círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é um círculo de raio 1, construído no plano cartesiano e utilizado para se fazer o estudo dos valores das razões trigonométricas para todos os ângulos. Também conhecido como ciclo trigonométrico, ele possibilita analisar o comportamento das razões trigonométricas, os quadrantes em que o ângulo se encontra, o sinal de cada razão trigonométrica para determinado ângulo, entre outras aplicações. Seno, cosseno e tangente são as principais razões trigonométricas.

O sinal do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo é determinado de acordo com o quadrante em que esse ângulo se encontra. Os ângulos entre 0 e 90º pertencem ao 1º quadrante, o seno, o cosseno e a tangente são todos positivos nesse quadrante. Já os ângulos entre 90º e 180º pertencem ao 2º quadrante, em que o seno permanece positivo, mas o cosseno e a tangente já têm valores negativos. No 3º quadrante, estão os ângulos entre 180º e 270º, tanto o seno quanto o cosseno são negativos e a tangente é positiva. Por fim, os ângulos entre 270º e 360º estão no 4º quadrante, o cosseno é positivo e o seno e a tangente são negativos.

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Resumo sobre círculo trigonométrico

• O círculo trigonométrico é utilizado para fazer o estudo do valor das razões trigonométricas.
• As principais razões trigonométricas são:
  • o seno — o eixo vertical;
  • o cosseno — o eixo horizontal;
  • a tangente — a razão entre o seno e o cosseno.
• Para construir o círculo trigonométrico, basta desenhar um círculo de raio 1 no plano cartesiano.
• O sinal do seno do cosseno e da tangente é determinado de acordo com o quadrante em que o ângulo se encontra.
• O círculo trigonométrico é separado em 4 quadrantes.
  • Ângulos entre 0 e 90º pertencem ao 1º quadrante.
  • Ângulos entre 90º e 180º pertencem ao 2º quadrante.
  • Ângulos entre 180º e 270º pertencem ao 3ºquadrante.
  • Ângulos entre 270º e 360º pertencem ao 4º quadrante.
• Para cada quadrante, as razões trigonométricas têm um sinal específico:
  • Os ângulos do 1º quadrante têm seno, cosseno e tangente positivos.
  • Os ângulos do 2º quadrante têm seno positivo, cosseno e tangente negativos.
  • Os ângulos do 3º quadrante têm seno e cosseno negativos e tangente positiva.
  • Os ângulos do 4º quadrante têm cosseno positivo, seno e tangente negativos.

O que é círculo trigonométrico?

O círculo trigonométrico é um círculo de raio 1 construído no plano cartesiano, em que o eixo horizontal é conhecido como eixo dos cossenos e o eixo vertical é conhecido como um eixo dos senos. Ao determinar um ponto no círculo, o ângulo do segmento de reta que liga esse ponto até a origem do plano cartesiano é medido e, então, a coordenada do ponto nos dá o valor do cosseno e do seno desse ângulo.

De modo geral, no círculo trigonométrico podemos traçar qualquer ângulo e verificar quais são os valores das razões trigonométricas para aqueles ângulos, lembrando que as principais razões trigonométricas são seno, cosseno e tangente. 

Como fazer um círculo trigonométrico?

Para construir o círculo trigonométrico, desenhamos um plano cartesiano considerando o eixo horizontal como eixo dos cossenos e o eixo vertical como eixo dos senos; posteriormente desenhamos uma circunferência de raio 1, então teremos o círculo trigonométrico.

Razões trigonométricas no círculo trigonométrico

As principais razões trigonométricas são seno, cosseno e tangente:

• O seno corresponde ao eixo vertical.

• O cosseno corresponde ao eixo horizontal.

• A tangente é a razão entre o seno e o cosseno.

Podemos saber o valor de cada uma delas para qualquer um dos ângulos no círculo trigonométrico.

→ Valor do seno e do cosseno

O valor do seno e o valor do cosseno para determinado ângulo θ é determinando pelo eixo vertical e horizontal respectivamente:

→ Valor da tangente

Para encontrar o valor da tangente do ângulo, é necessário traçar uma reta paralela ao eixo dos senos, tangente à circunferência no ponto (1, 0), e posteriormente o prolongamento do segmento de reta que liga a origem até o ponto P, como na imagem a seguir:

Dado um ângulo no ciclo trigonométrico, ao traçarmos o segmento que vai da origem até o ponto P pertencente à reta tangente, encontraremos a tangente do ângulo calculando a distância entre o ponto A e o ponto P.

Quadrantes do círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é separado em 4 quadrantes, assim como o plano cartesiano.

Analisando o ciclo, temos que:

• No quadrante I, conhecido também como 1º quadrante, estão localizados os ângulos que estão entre 0 e 90º ou 0 e \(\frac{\pi}{2}\) radianos.
• No quadrante II, conhecido também como 2º quadrante, estão localizados os ângulos que estão entre 90º e 180 º ou \(\frac{\pi}{2}\) e π radianos.
• No quadrante III, conhecido também como 3º quadrante, estão localizados os ângulos que estão entre 180º e 270º ou π e \(\frac{3\pi}{2}\) radianos.
• No quadrante IV, conhecido também como 4º quadrante, estão localizados os ângulos que estão entre 270º e 360º ou \(\frac{3\pi}{2}\) e 2π radianos.

Saiba mais: Secante, cossencante e cotangente no círculo trigonométrico

Sinais dos quadrantes no círculo trigonométrico

Para cada quadrante, as razões trigonométricas têm um sinal específico, então analisaremos inicialmente o sinal de cada uma das razões trigonométricas, iniciando pelo cosseno. Sabemos que o cosseno corresponde ao eixo horizontal — positivo para a direita da origem e negativo para a esquerda da origem —, como mostra a imagem a seguir:

Já o seno corresponde ao eixo vertical, logo ele tem valores positivos acima da origem e negativos abaixo da origem, como na imagem a seguir:

Por fim, a tangente é a razão entre o seno e o cosseno. Então, para saber o sinal da tangente, basta realizar jogo de sinal entre o sinal do seno e do cosseno.

• No 1º quadrante, tanto o seno quanto o cosseno são positivos, sabemos que +:++.
• No 2º quadrante, cosseno é negativo e seno é positivo, sabemos que -:+-.
• No 3º quadrante, seno e cosseno são negativos, sabemos que -:-+.
• No 4º quadrante, o cosseno é positivo e o seno negativo, sabemos que +:--.

Então temos que:

Ângulos notáveis no círculo trigonométrico

Sabemos que os ângulos notáveis são os ângulos de 30º, 45º e 60º. Entretanto, devido à simetria que existe no círculo trigonométrico, é possível determinar o valor do seno, do cosseno e da tangente de muitos outros ângulos.

Exercícios resolvidos sobre círculo trigonométrico

Questão 1

O ângulo de 140º tem valor de cosseno, seno e tangente respectivamente:

1. positivo, negativo e negativo.
2. positivo, positivo e positivo.
3. negativo, negativo e positivo.
4. negativo, positivo e negativo.
5. negativo, positivo e positivo.

Resolução: Alternativa D

Um ângulo de 140º encontra-se no 2º quadrante, quadrante este em que o valor do cosseno é negativo, o valor do seno é positivo e o valor da tangente é negativo, então temos, respectivamente: negativo, positivo e negativo.

Questão 2

Durante um experimento de Física, um objeto em movimento circular percorreu um ângulo de 1380°. Sabendo que uma volta completa corresponde a 360°, determine em qual quadrante o ângulo final se encontra.

1. I
2. II
3. III
4. IV

Resolução: Alternativa D

Calcularemos a divisão de 1380 por 360 para saber quantas voltas foram dadas. No caso, sabemos que 3 ⋅ 360 = 1080 e que 4 ⋅ 360 = 1440, logo foram dadas 3 voltas completas e restaram 300º, pois 1380 – 1080 = 300. O ângulo final é o ângulo de 300º, que se encontra no quadrante IV.

Fontes

CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Fundamentos de Trigonometria. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2007.

SANTOS, Manoel Ferreira dos; MAIA JR., Adolfo. Trigonometria para o Ensino Médio. São Paulo: Editora do Brasil, 2013.