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Funções trigonométricas

Seno, cosseno e tangente são funções trigonométricas por relacionarem a medida do arco com o valor das razões trigonométricas.
Gráfico das funções trigonométricas seno e cosseno.
Gráfico das funções trigonométricas seno e cosseno.

Conhecemos como função trigonométrica toda função que possui domínio e contradomínio no conjunto dos números reais e que a lei de formação possui uma razão trigonométrica em função de um ângulo x. As principais funções trigonométricas são a função seno, a função cosseno e a função tangente.

Essas funções podem ser representadas no plano cartesiano e são classificadas como periódicas, porque o comportamento gráfico se repete de forma cíclica.

Leia também: Quais as diferenças entre equação e função?

Resumo sobre funções trigonométricas

  • A função é trigonométrica quando possui uma razão trigonométrica em sua lei de formação.

  • As principais funções trigonométricas são:

    • função seno;

    • função cosseno;

    • função tangente.

Quais são as funções trigonométricas?

Conhecemos como função trigonométrica qualquer função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais que possui uma razão trigonométrica com o ângulo como variável. As principais funções trigonométricas são a função seno, a função cosseno e a função tangente.

  • Função seno

Chamamos de função seno a função f : IR → IR em que a lei de formação é representada por f(x) = sen (x), sendo x o ângulo em radianos.

Domínio da função seno

Como vimos na definição da função seno, o domínio está no conjunto dos números reais. Sabemos que, para todo número real, existe um valor para sen(x), então podemos afirmar que o domínio da função é Df = IR.

Imagem da função seno

Com o estudo do ciclo trigonométrico, sabemos que a razão trigonométrica seno possui como valor máximo 1 e como valor mínimo -1. Então, a imagem da função seno está no intervalo [ -1, 1].

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Gráfico da função seno

O gráfico da função seno é limitado entre o intervalo [-1, 1] e possui partes crescentes e partes decrescentes. Ele é conhecido também como senoide.

Gráfico da função seno
Gráfico da função seno

Sinal da função seno

O sinal da função seno acompanha o sinal que o seno tem no ciclo trigonométrico. Se o arco for do I ou II quadrante, a função seno será positiva; caso o arco pertença ao III ou IV quadrante, será negativa.

Ciclo trigonométrico apresentando o sinal da função seno.
Sinal da função seno

Período da função seno

Conhecemos como período o menor intervalo em que acontece a repetição do gráfico. Podemos notar que a função seno é periódica, ou seja, o gráfico se repete a cada período. O período da função seno é 2π.

Paridade da função seno

A função seno é considerada uma função ímpar, ou seja, sen(–x) = – sen(x).

Veja também: Domínio, contradomínio e imagem de uma função

  • Função cosseno

Chamamos de função cosseno a função f : IR → IR em que a lei de formação é representada por f(x) = cos(x), sendo x o ângulo em radianos.

Domínio da função cosseno

A função cosseno está definida de IR → IR, ou seja, o domínio é o conjunto dos números reais. Podemos representar por Df = IR.

Imagem da função cosseno

Assim como a função seno, a função cosseno possui imagem nos números reais entre -1 e 1, ou seja, Im = [ – 1, 1].

Gráfico da função cosseno

O gráfico da função cosseno está contido no intervalo de -1 a 1 e também possui comportamento periódico, assim como a função seno, com intervalos crescentes e decrescentes.

Gráfico da função cosseno
Gráfico da função cosseno

Sinal da função cosseno

O sinal da função, de acordo com a representação do cosseno no ciclo trigonométrico, possui valores positivos para os quadrantes I e IV e negativos para o II e III quadrante.

Ciclo trigonométrico apresentando o sinal da função cosseno.
Sinal da função cosseno

Período da função cosseno

Como percebemos na representação gráfica, a função cosseno é periódica, ou seja, o seu comportamento passa a se repetir, e o período dessa função é 2π.

Paridade da função cosseno

A função cosseno é considerada uma função par, ou seja, cos(x) = cos( – x).

Veja também: Função exponencial – função que apresenta a incógnita como expoente

  • Função tangente

A função tangente possui um comportamento diferente das funções anteriores. Ela não é limitada como a função seno e a função cosseno. Além disso, existem alguns valores para os quais a função tangente não está definida. A lei de formação da função tangente é f(x) = tg(x).

Domínio da função tangente

A tangente é a razão entre o seno e o cosseno. Para os valores em que cos(x) é zero, a função tangente não está definida, pois não realizamos divisão por zero. Os ângulos em que isso acontece são os ângulos de 90º, 270º e qualquer ângulo múltiplo deles:

Domínio da função tangente

Imagem da função tangente

A função tangente possui comportamento bem diferente das demais funções trigonométricas. Sua imagem está no conjunto dos números reais, ou seja, Im = IR.

Gráfico da função tangente

A função tangente é periódica. Vale lembrar que o domínio dela não está no conjunto dos números reais, então existem valores em que a função tangente não está definida.

Gráfico da função tangente
Gráfico da função tangente

Sinal da função tangente

A função tangente possui sinal positivo no quadrante I e III e sinal negativo no quadrante II e IV.

Ciclo trigonométrico apresentando o sinal da função tangente.
Sinal da função tangente

Período da função tangente

A função tangente é uma função periódica, mas, diferentemente das anteriores, seu período é π.

Paridade da função tangente

A função tangente é ímpar, pois tan(– x) = – tan(x).

Exercícios resolvidos sobre as funções trigonométricas

Questão 1 - Dada a função f(x) = 2 + 4sen(x), podemos afirmar que a imagem dessa função é o conjunto:

A) [2,4].
B) [– 2, 2].
C)[ – 2, 4].
D) [– 2, 6].
E) [4, 6].

Resolução

Alternativa D.

Sabemos que o menor valor de sen(x) é -1 e o maior valor é 1.

O valor máximo da função é quando sen(x) = 1:

f(x) = 2 + 4 · 1

f(x) = 2 + 4

f(x) = 6

O valor mínimo da função é quando sen(x) = – 1:

f(x) = 2 + 4 · ( – 1)

f(x) = 2 – 4

f(x) = – 2

Então, a imagem da função está no intervalo [-2, 6].

Questão 2 - (Enem 2018) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras:

Ilustração esquemática da High Roller.

A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo segmento OA em relação à sua posição inicial e f a função que descreve a altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t. Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:

Gráfico representando as rotações da High Roller

A expressão da função altura é dada por:

A) f(t) = 80sen(t) + 88

B) f(t) = 80cos(t) + 88

C) f(t) = 88cos(t) + 168

D) f(t) = 168sen(t) + 88cos(t)

E) f(t) = 88sen(t) + 168cos(t)

Resolução

Alternativa A. Sabemos que a função assume valor máximo quando t = π/2. A função que assume valor máximo em π/2 é a função seno. Então, temos que:

f(t) = A + Bsen(t)

Quando t = 0 f(t) = 88.

f(0) = A + Bsen(0)

88 = A + B · 0

88 = A

Conhecendo o valor de A, notamos que f( π/2) = 168.

f( π/2) = 88 + Bsen( π/2)

168 = 88 + B · 1

168 – 88 = B

80 = B

Então, a função altura é f(t) = 80 + 88sen(t).

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
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