Termo geral da PG

O termo geral de uma progressão geométrica (PG) é uma fórmula usada para descobrir um termo qualquer de uma PG. Para isso, é necessário conhecer o primeiro termo, a razão da progressão e a posição do termo a ser encontrado nela.

Considerando-se uma PG qualquer, cujo primeiro elemento é a₁ e a razão é “q”, o termo geral a_n dessa PG é dado pela fórmula:

                                                               a_n = a₁·q^{n – 1}
 

Determinar a fórmula não é tarefa difícil. A fim de que o estudante compreenda bem o método que utilizamos para determinar essa fórmula, primeiro daremos um exemplo tendo como base uma PG e depois faremos o caso geral, de onde a fórmula é obtida.

Veja também: Sequência de Fibonacci
 

Razão e primeiro termo de uma PG

Uma PG é uma sequência numérica onde cada termo é o resultado do produto entre seu antecessor e uma constante, conhecida como razão. Essa característica apenas não é observada no primeiro termo, pois ele não possui antecessor. Veja a seguir um exemplo de PG de razão 2 e primeiro termo 3:

(3, 6, 12, 24, …)
 

Observe que é sempre possível qualquer termo de uma PG em função do primeiro. Isso acontece porque o segundo termo é um produto do primeiro com a razão. O terceiro termo é um produto do segundo com a razão, que por sua vez é um produto do primeiro com a razão. Seguindo essa lógica, os termos dessa PG podem ser escritos da seguinte maneira:

a₁ = 3

a₂ = 6 = 3·2

a₃ = 12 = 3·2·2

a₄ = 24 = 3·2·2·2
…

Observe também que cada termo da PG é igual a um produto do primeiro por uma potência da razão. O expoente dessa potência é sempre igual ao índice (posição do termo indicada por n) menos uma unidade. Assim:

a₁ = 3 = 3·2⁰

a₂ = 6 = 3·2¹

a₃ = 12 = 3·2²

a₄ = 24 = 3·2³
…

Dessa maneira, fica fácil determinar, por exemplo, o décimo termo dessa PG. Basta multiplicar 3 pela razão elevada à nona potência:

a₁₀ = 3·2⁹

a₁₀ = 3·512

a₁₀ = 1536

Termo geral da PG

A ideia usada para encontrar o termo geral da PG é justamente a ideia usada para encontrar o décimo termo da PG do exemplo anterior. Para isso, utilizaremos a PG geral cujos elementos são:

(a₁, a₂, a₃, a₄, … a_n)
 

Do exemplo anterior, sabemos que cada termo dessa PG pode ser escrito em função de um produto entre o primeiro termo e uma potência:

a₁ = a₁·q⁰

a₂ = a₁·q¹

a₃ = a₁·q²

a₄ = a₁·q³
…

Sabendo que o expoente da razão q sempre será igual ao índice do termo em questão menos 1, para encontrar a fórmula usada para determinar o enésimo termo (um termo qualquer, também chamado termo geral), basta fazer:

a_n = a₁·q^{n – 1}

Exemplo

Determine o décimo quinto termo da progressão geométrica a seguir: (1, 3, 9, 27, …)

Observe que a razão dessa PG é 3, pois cada termo é um produto do anterior por 3. Note também que o primeiro termo é 1, e como queremos descobrir o décimo quinto termo, n = 15. Dessa maneira, teremos:

a_n = a₁·q^{n – 1}

a₁₅ = 1·3^{15 – 1}

a₁₅ = 3¹⁴

a₁₅ = 4782969