Progressão geométrica

Progressão geométrica é uma sequência numérica que possui uma razão fixa q e, a partir do primeiro termo, os termos são cálculos pela razão q vezes o seu antecessor. Uma progressão geométrica pode ser crescente, quando sua razão for maior que um; decrescente, quando a razão for um número entre zero e um; constante, quando a razão for exatamente um; e oscilante, quando a razão for menor que zero.

Essa sequência pode ser finita, quando há limitação de termos na sequência, ou infinita, caso ocorra exatamente o contrário. A equação do termo geral de uma progressão geométrica e a soma de todos os seus termos são calculadas a partir de fórmulas específicas, que dependem do primeiro termo e da razão.

Leia também: Moda, média, mediana – medidas de posição numérica

O que é uma progressão geométrica?

Progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que, após o primeiro termo, os termos posteriores da sequência são construídos a partir da multiplicação de uma razão q pelo termo antecessor.

Exemplo:

- PG de razão 3 em que o primeiro termo é 2.

Os termos da sequência são representados por (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ …).

a₁ = 2

a₂ = 2.3 = 6

a₃ = 6.3 = 18

a₄ = 18.3 = 54

a₅ = 54.3 = 162.

A PG do exemplo é, portanto, (2,6,18,54,162...).

A razão de uma PG pode ser encontrada a partir da divisão de um termo da sequência pelo seu antecessor. Ao fazer isso, caso ela seja realmente uma progressão geométrica, essa divisão sempre será igual a q.

Exemplo:

(1, 2, 4, 8, 16, 32)

Logo, essa PG possui razão q = 2.

Propriedades da PG

→ 1ª propriedade

Devido ao comportamento da PG, ela preserva algumas propriedades. A primeira delas é que o produto de termos equidistantes do extremo é sempre igual.

Exemplo:

(2, 8, 32, 128, 512, 2048)

2∙ 2048= 4096

8∙512 = 4096

32 ∙128 = 4096

Quando a PG possui uma quantidade ímpar de termos, há um termo central. Esse termo ao quadrado também é igual ao produto dos termos equidistantes.

Exemplo:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64)

1∙ 64 = 64

2∙32 = 64

4∙16 = 64

8∙8 = 64

→ 2ª propriedade

O termo central da PG é também a sua média geométrica.

Veja também: Proporção – comparação entre duas grandezas

Classificação de uma PG

Uma PG pode ser classificada como finita, quando existir uma qualidade limitada de termos, ou infinita. Além disso, também classificamos a PG de acordo com seu comportamento, podendo ser crescente, decrescente, constante e oscilante. Essa classificação depende diretamente da razão q.

• Crescente: Para que ela seja crescente, o segundo termo deve ser maior que o primeiro e assim sucessivamente, ou seja, a1 < a2 < a3 < a4 < … < an. Uma PG é crescente se, e somente se, a razão for maior que um, ou seja, q > 1. Exemplo: (2, 10, 50, 250, …), q = 5, logo a PG é crescente.

• Constante: Para que ela seja constante, os termos precisam ser todos iguais: a1 = a2 =...= an. Uma PG é constante se, e somente se, a razão for igual a 1, ou seja, q = 1. Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2, 2), q = 1, logo a PG é constante.

• Decrescente: Para que ela seja decrescente, o segundo termo deve ser menor que o primeiro e assim sucessivamente, ou seja, a1 > a2 > a3 > a4 > … > an. Uma PG é decrescente se, e somente se, a razão for um número entre zero e um, ou seja, 0 > q > 1. Exemplo:

• Oscilante: Para que ela seja oscilante, os termos são alternadamente negativos e positivos, o que ocorre quando a razão é negativa, ou seja, q < 0. Exemplo: (1,-4,8,-32,128…) e q = - 2, logo a PG é oscilante.

Termos de uma PG

Os termos de uma PG podem ser encontrados a partir de uma fórmula que depende somente do termo inicial e da razão. A fórmula para encontrar os termos de uma PG é:

Demonstração da fórmula:

Exemplo: Encontre o 9º termo de uma PG que possui a₁ = 3 e q = 5.

Termo geral de uma PG

Quando conhecemos o primeiro termo e a razão, é possível simplificar a fórmula do termo de uma PG para encontrarmos o termo geral, que depende somente do valor de n que queremos encontrar. Para isso, substituímos o valor do primeiro termo e da razão na fórmula.

Exemplo:

Encontre o termo geral da PG sabendo que a₁ = 81 e q = 1/3.

Resolução:

Note que agora, dado o valor de n, é possível encontrar qualquer termo dessa sequência.

Soma dos termos de uma PG

Somar os termos de uma PG seria uma tarefa bastante trabalhosa se a quantidade dos termos fosse muito grande. Para somas pequenas, a escrita desses termos e a realização da soma bastariam. Porém, há problemas em que o interesse é realizar a soma dos n termos de uma PG, mas a quantidade de termos a serem somados é grande. Nesses casos, devemos usar a seguinte fórmula:

Note que essa fórmula depende do valor de n, ou seja, ela só serve para uma quantidade limitada de valores, por isso dizemos que essa é a soma dos termos de uma PG finita.

Exemplo:

Qual é o valor da soma dos 10 primeiros termos da PG (3,6,12, 24,…)?

Resolução:

Temos que a₁ = 3, n = 10 e, ao dividir um termo pelo antecessor, vamos encontrar a razão (q = 2).

Assim, a soma dos 10 primeiros termos será:

Um caso particular para soma dos termos da PG é quando ela é infinita e decrescente. Nesse caso, a razão q é um número entre zero e 1 (0 < q < 1). Com isso, é possível encontrar uma nova fórmula que só serve para esses casos:

Exemplo:

Calcule a soma de todos termos da sequência a seguir:

Resolução:

Veja também: Média ponderada – para que serve?

Diferença entre PA e PG

A comparação entre as progressões é muito comum, e as diferenças estão na definição de cada uma delas. Na progressão aritmética, a partir do primeiro termo, existe uma razão r que é somada ao primeiro termo para gerar o segundo termo, logo, de um termo para o outro, a diferença sempre é igual à razão. Já na progressão geométrica, a partir do primeiro termo, a razão q é multiplicada pelo primeiro termo para gerar o segundo termo, logo a divisão do termo pelo seu antecessor sempre vai ser igual à razão.

Os termos de uma progressão geométrica crescente aumentam muito mais rápido que os termos de uma progressão aritmética. Isso pode ser visto no exemplo a seguir, em que as progressões possuem mesma razão e mesmo valor inicial, mas uma é geométrica e a outra é aritmética.

Progressão aritmética de termo a₁ = 1 e q = 2:

A sequência será (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 …).

Progressão geométrica de termo a₁ =1 e q = 2:

A sequência será (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, …).

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos por um código de segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se digitar o código secreto composto por quatro algarismos. No primeiro caso de erro na digitação, a pessoa deve esperar 60 segundos para digitar o código novamente. O tempo de espera duplica em relação ao tempo de espera anterior a cada digitação errada. Uma pessoa conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30 segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa. Nos casos da digitação incorreta, ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera.

O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio foi igual a:

a) 300

b) 420

c) 540

d) 660

e) 1020

Resolução:

Vamos dividir o problema em duas partes, a primeira é o tempo gasto durante a digitação da senha e a segunda é o tempo de espera.

- 1º passo:

Sabemos que, a cada tentativa, gastam-se 30 segundos, logo ela gastará 30.4 = 120 segundos por tentativa.

- 2º passo:

O tempo de espera comporta-se como uma PG de termo inicial 60 e razão 2, e queremos a soma dos três primeiros termos. Como a quantidade de termos não é muito alta, é possível calcular tanto pela escrita dos termos e a soma quanto utilizando diretamente a fórmula da soma dos termos da PG.

Encontrando os termos:

a₁ = 60

a₂ = 60. 2 = 120

a₃ = 120 . 2 = 240

S₃ = 60 + 120 + 240 = 420.

O total T = 420 + 120 = 540 segundos.

Questão 2 - Sabendo que os números 4 e 81 são, respectivamente, o primeiro e o último termo de uma PG com uma quantidade ímpar de elementos. Seu termo central é?

a) 8

b) 2

c) 9

d) 18

e) 10

Resolução:

Sabemos que o termo central x² tem que ser igual à multiplicação das extremidades, logo: