Aplicações das propriedades de radiciação

A radiciação é uma operação matemática e, como todas as outras, possui propriedades que podem ser aplicadas para facilitar os cálculos. No total, há sete propriedades e elas podem ser estudadas no texto Propriedades dos Radicais. Neste texto mostraremos os casos em que elas devem ser aplicadas isoladamente, lembrando que, ao simplificar um radical, é possível cair em outra das sete propriedades.

Não se esqueça de que, após o uso de uma das propriedades seguintes, ainda pode ser possível simplificar mais o radical, sendo necessário reutilizar a mesma propriedade ou aplicar uma das outras seis. Desse modo, alguns dos exemplos serão de uso exclusivo da propriedade em questão e outros trarão um uso sucessivo de propriedades. Observe:

→ Primeira propriedade

A primeira propriedade trata da raiz enésima de um número elevado a n. O resultado é esse próprio número, isto é, sempre que o índice do radical for igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz será o próprio radicando sem expoente. Observe o exemplo:

→ Segunda propriedade

A segunda propriedade permite que o índice do radical e o expoente do radicando sejam multiplicados ou divididos pelo mesmo número. Se a ideia for simplificar os cálculos e ambos forem múltiplos de um mesmo número, basta dividi-los por esse número. Observe:

Observe que 2⁸ é obtido por meio da decomposição em fatores primos de 256.

→ Terceira propriedade

A terceira propriedade possui um “caminho de ida” e um “caminho de volta”. No caminho de ida, é possível decompor um número em fatores quaisquer (ou primos, dependendo da situação) e reescrever uma raiz única como produto das raízes dos fatores. Esse caso é o mais utilizado na simplificação de radicais.

Muitas vezes essa propriedade é usada em conjunto com a propriedade anterior para unir dois ou mais radicais. Para tanto, multiplique índice e expoente dos radicais a serem unidos de modo que os índices fiquem iguais. Em seguida, aplique a terceira propriedade.

→ Quarta propriedade

A quarta propriedade segue o mesmo princípio da anterior, porém, para divisão. Observe o exemplo:

Observe na imagem acima que, na etapa destacada, optamos por decompor os radicandos. O próximo passo foi a aplicação da terceira propriedade e o seguinte foi a aplicação da primeira propriedade. Essa cadeia de aplicações garante que raízes complicadas sejam calculadas sem grandes problemas.

→ Quinta propriedade

Qualquer raiz elevada a alguma potência pode ter a potência introduzida em seu radical, de modo que ela se torna expoente do radicando. Observe:

Na imagem acima, somente a parte destacada mostra a aplicação da quinta propriedade. O que ocorre nas operações seguintes são aplicações das outras propriedades a fim de simplificar ainda mais o radical resultante.

→ Sexta propriedade

As raízes de raízes podem ser reescritas utilizando apenas um radical. Observe:

Para transformar 256 em 28, fatore o 256 e escreva-o em sua forma decomposta dentro do radical.

→ Sétima propriedade

O índice do radical e o expoente do radicando podem ser vistos como uma fração a fim de eliminar o radicando ou de simplificá-lo. Observe:

Observe que a sétima propriedade só foi aplicada do segundo para o terceiro passo, em que um radical foi transformado em uma potência de expoente fracionário. Sempre que o expoente do radicando for múltiplo do índice do radical, especialmente nos casos em que o primeiro for maior que o segundo, será possível fazer essa simplificação.