Apótema

O apótema é o segmento de reta que parte do centro do polígono e encontra um de seus lados, de forma perpendicular. Para cada figura regular, temos uma fórmula diferente para calcular o apótema. Também existe o apótema da pirâmide, que é o segmento de reta que passa pelo vértice da pirâmide e se encontra com o lado da base da pirâmide de forma perpendicular.
Leia também: O que são poliedros regulares?
Resumo sobre apótema
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O apótema de um polígono regular é o segmento de reta que parte do seu centro e vai até um de seus lados de forma perpendicular.
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Cada polígono regular possui uma fórmula específica para o cálculo do apótema, e os principais são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono.
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O apótema do triângulo equilátero é igual a um terço da altura do triângulo e é calculado por:
atriângulo=l√26
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O apótema do quadrado é igual à metade da medida do seu lado, logo o apótema do quadrado é calculado por:
aquadrado=l2
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O apótema do hexágono regular é calculado pela fórmula:
ahexagono=l√32
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O apótema de uma pirâmide é o segmento que liga o vértice da pirâmide até o lado da base da pirâmide de forma perpendicular.
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Para calcular o apótema de uma pirâmide, utilizamos o teorema de Pitágoras. Sendo x o apótema da base da pirâmide e h a sua altura, o apótema da pirâmide é calculado por:
a2=h2+x2
Exemplo de apótema
Existem dois casos diferentes de apótema: apótema de um polígono regular e apótema de uma pirâmide. Veremos os dois casos a seguir.
→ Exemplos de apótema de um polígono regular
O apótema de um polígono regular é o segmento de reta que liga o centro desse polígono até qualquer um de seus lados, de forma perpendicular, ou seja, formando um ângulo de 90°. Lembrando que polígonos são figuras planas formadas por segmentos de reta que não se cruzam e que polígonos são ditos regulares quando seus lados e, consequentemente, seus ângulos têm a mesma medida.
Os principais polígonos regulares são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono. Veja o apótema de cada um deles:

→ Exemplo de apótema de uma pirâmide
O apótema da pirâmide é a altura da face da pirâmide, ou seja, é o segmento que liga o vértice da pirâmide até um dos lados da sua base.

Fórmulas do apótema
Para cada figura regular, temos uma fórmula diferente para calcular o apótema. Os principais polígonos regulares são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono.
→ Fórmula do apótema de um triângulo equilátero
Para calcular o apótema de um triângulo equilátero, o triângulo que possui todos os lados congruentes, primeiramente encontraremos a circunferência inscrita no triângulo equilátero:

O apótema do triângulo equilátero é igual ao raio dessa circunferência inscrita:

Quando traçamos a altura do triângulo equilátero, podemos perceber que a altura da circunferência inscrita é igual a 3 vezes o apótema do triângulo equilátero, logo o apótema é igual a 13 da altura do triângulo equilátero.
Então, temos que:
a=13h
Mas a altura h do triângulo equilátero possui fórmula específica para ser calculada, pois:
h=l√32
Logo, substituindo h pelo valor da fórmula, podemos afirmar que:
a=13⋅l√32
Tendo esses aspectos em vista, a fórmula para calcular o apótema do triângulo é:
atriângulo=l√36
→ Fórmula do apótema do quadrado
Para calcular o apótema do quadrado, o polígono regular de quatro lados, encontraremos a circunferência inscrita nesse polígono:

O apótema é igual ao raio dessa circunferência, que possui valor igual à metade da medida do lado do quadrado. Logo, para calcular o valor do apótema de um quadrado, basta dividir a metade do lado por dois:
a=l2
→ Fórmula do apótema do hexágono
O apótema do hexágono, o polígono regular de seis lados, é igual ao raio da circunferência inscrita no polígono.

Acontece que quando traçamos as diagonais do hexágono, podemos dividir ele em 6 triângulos, e todos são equiláteros. Sabendo que esses triângulos são equiláteros, podemos perceber que o apótema é igual à altura do triângulo. Logo, para calcular a medida do apótema do hexágono, basta calcularmos a medida da altura de um dos triângulos equiláteros que o compõem, pela fórmula:
a=l√32
Veja também: Quais os elementos do polígono regular inscrito?
Apótema da pirâmide
Diferentemente dos polígonos, a pirâmide é um sólido geométrico, ou seja, uma figura tridimensional. O conceito de apótema da pirâmide é um pouco diferente do de um polígono, pois na pirâmide, o sólido geométrico que possui como elementos principais sua base poligonal e seu vértice, o apótema é o segmento de reta que passa pelo vértice da pirâmide e se encontra com o lado da base da pirâmide de forma perpendicular.
Para calcular o comprimento do apótema de uma pirâmide, é necessário aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelo apótema da base, pela altura da pirâmide e pelo apótema da pirâmide.

Aplicando o teorema de Pitágoras para calcular o apótema da pirâmide, temos que:
a2=a2b+h2
Como calcular o apótema?
Para calcular o apótema, seja ele dos polígonos regulares ou da pirâmide, basta substituir na fórmula pelos valores conhecidos.
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Exemplo 1:
Calcule o apótema de um triângulo equilátero de lados medindo 15 cm.
Resolução:
Calculando o apótema do triângulo equilátero:
a=l⋅√36
a=15√36
Simplificando a fração:
a=5√32 cm
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Exemplo 2:
Qual é o apótema de um quadrado cujo lado mede 8 cm?
Resolução:
O apótema do quadrado é igual à metade da medida do seu lado:
a=l2
a=82
a=4 cm
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Exemplo 3:
Qual é a medida do apótema de um hexágono regular com lados medindo 6 cm?
Resolução:
Calculando o apótema do hexágono:
a=l√32
a=6√32
a=3√3 cm
Exercícios resolvidos sobre apótema
Questão 1
Uma pirâmide possui base quadrada com lado medindo 10 cm. Além disso, sua altura é de 12 cm. Então, a medida do apótema da pirâmide é igual a:
A) 12 cm
B) 13 cm
C) 14 cm
D) 15 cm
E) 16 cm
Resolução:
Alternativa B.
Para encontrar o apótema da pirâmide, primeiramente encontramos o apótema da sua base. Como a base é um quadrado de lado medindo 10 cm, o apótema da base é de 5 cm, ou seja ab = 5. Também temos que h = 12. Aplicando o teorema de Pitágoras:
a2=a2b+h2
a2=52+122
a2=25+144
a2=169
a=√169
a=13 cm
Questão 2
Se um triângulo equilátero possui apótema medindo 8 cm, então a medida do lado desse triângulo é igual a:
A) 8√3
B) 12√3
C) 16√3
D) 24√3
E) 48√3
Resolução:
Alternativa C.
Sabemos que o apótema de um triângulo equilátero é igual a:
a=l√36
Como o apótema é igual a 8:
8=l√36
8⋅6=l√3
48=l√3
48√3=l
Racionalizando:
48√3⋅√3√3=l
48√33=l
l=16√3 cm
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