Apótema

O apótema é o segmento de reta que parte do centro do polígono e encontra um de seus lados, de forma perpendicular. Para cada figura regular, temos uma fórmula diferente para calcular o apótema. Também existe o apótema da pirâmide, que é o segmento de reta que passa pelo vértice da pirâmide e se encontra com o lado da base da pirâmide de forma perpendicular.

Leia também: O que são poliedros regulares?

Resumo sobre apótema

• O apótema de um polígono regular é o segmento de reta que parte do seu centro e vai até um de seus lados de forma perpendicular.

• Cada polígono regular possui uma fórmula específica para o cálculo do apótema, e os principais são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono.

• O apótema do triângulo equilátero é igual a um terço da altura do triângulo e é calculado por:

\(a_{triângulo}=\frac{l\sqrt2}6\)

• O apótema do quadrado é igual à metade da medida do seu lado, logo o apótema do quadrado é calculado por:

\(a_{quadrado}=\frac{l}2\)

• O apótema do hexágono regular é calculado pela fórmula:

\(a_{hexagono}=\frac{l\sqrt3}2 \)

• O apótema de uma pirâmide é o segmento que liga o vértice da pirâmide até o lado da base da pirâmide de forma perpendicular.

• Para calcular o apótema de uma pirâmide, utilizamos o teorema de Pitágoras. Sendo x o apótema da base da pirâmide e h a sua altura, o apótema da pirâmide é calculado por:

\(a^2=h^2+x^2\)

Exemplo de apótema

Existem dois casos diferentes de apótema: apótema de um polígono regular e apótema de uma pirâmide. Veremos os dois casos a seguir.

→ Exemplos de apótema de um polígono regular

O apótema de um polígono regular é o segmento de reta que liga o centro desse polígono até qualquer um de seus lados, de forma perpendicular, ou seja, formando um ângulo de 90°. Lembrando que polígonos são figuras planas formadas por segmentos de reta que não se cruzam e que polígonos são ditos regulares quando seus lados e, consequentemente, seus ângulos têm a mesma medida.

Os principais polígonos regulares são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono. Veja o apótema de cada um deles:

→ Exemplo de apótema de uma pirâmide

O apótema da pirâmide é a altura da face da pirâmide, ou seja, é o segmento que liga o vértice da pirâmide até um dos lados da sua base.

Fórmulas do apótema

Para cada figura regular, temos uma fórmula diferente para calcular o apótema. Os principais polígonos regulares são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono.

→ Fórmula do apótema de um triângulo equilátero

Para calcular o apótema de um triângulo equilátero,  o triângulo que possui todos os lados congruentes, primeiramente encontraremos a circunferência inscrita no triângulo equilátero:

O apótema do triângulo equilátero é igual ao raio dessa circunferência inscrita:

Quando traçamos a altura do triângulo equilátero, podemos perceber que a altura da circunferência inscrita é igual a 3 vezes o apótema do triângulo equilátero, logo o apótema é igual a \(\mathbf{\frac{1}3}\) da altura do triângulo equilátero.

Então, temos que:

\(a=\frac{1}3 h\)

Mas a altura h do triângulo equilátero possui fórmula específica para ser calculada, pois:

\(h=\frac{l\sqrt3}2\)

Logo, substituindo h pelo valor da fórmula, podemos afirmar que:

\(a=\frac{1}3⋅\frac{l\sqrt3}2\)

Tendo esses aspectos em vista, a fórmula para calcular o apótema do triângulo é:

\(a_{triângulo}=\frac{l\sqrt3}6\)

→ Fórmula do apótema do quadrado

Para calcular o apótema do quadrado, o polígono regular de quatro lados, encontraremos a circunferência inscrita nesse polígono:

O apótema é igual ao raio dessa circunferência, que possui valor igual à metade da medida do lado do quadrado. Logo, para calcular o valor do apótema de um quadrado, basta dividir a metade do lado por dois:

\(a=\frac{l}2\)

→ Fórmula do apótema do hexágono

O apótema do hexágono, o polígono regular de seis lados, é igual ao raio da circunferência inscrita no polígono.

Acontece que quando traçamos as diagonais do hexágono, podemos dividir ele em 6 triângulos, e todos são equiláteros. Sabendo que esses triângulos são equiláteros, podemos perceber que o apótema é igual à altura do triângulo. Logo, para calcular a medida do apótema do hexágono, basta calcularmos a medida da altura de um dos triângulos equiláteros que o compõem, pela fórmula:

\(a=\frac{l\sqrt3}2\)

Veja também: Quais os elementos do polígono regular inscrito?

Apótema da pirâmide

Diferentemente dos polígonos, a pirâmide é um sólido geométrico, ou seja, uma figura tridimensional. O conceito de apótema da pirâmide é um pouco diferente do de um polígono, pois na pirâmide, o sólido geométrico que possui como elementos principais sua base poligonal e seu vértice, o apótema é o segmento de reta que passa pelo vértice da pirâmide e se encontra com o lado da base da pirâmide de forma perpendicular.

Para calcular o comprimento do apótema de uma pirâmide, é necessário aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelo apótema da base, pela altura da pirâmide e pelo apótema da pirâmide.

Aplicando o teorema de Pitágoras para calcular o apótema da pirâmide, temos que:

\(a^2=a_b^2+h^2\)

Como calcular o apótema?

Para calcular o apótema, seja ele dos polígonos regulares ou da pirâmide, basta substituir na fórmula pelos valores conhecidos.

• Exemplo 1:

Calcule o apótema de um triângulo equilátero de lados medindo 15 cm.

Resolução:

Calculando o apótema do triângulo equilátero:

\(a=l⋅\frac{\sqrt3}6\)

\(a=\frac{15\sqrt3}6\)

Simplificando a fração:

\(a=\frac{5\sqrt3}2\ cm\)

• Exemplo 2:

Qual é o apótema de um quadrado cujo lado mede 8 cm?

Resolução:

O apótema do quadrado é igual à metade da medida do seu lado:

\(a=\frac{l}2\)

\(a=\frac{8}2\)

\(a= 4\ cm\)

• Exemplo 3:

Qual é a medida do apótema de um hexágono regular com lados medindo 6 cm?

Resolução:

Calculando o apótema do hexágono:

\(a=\frac{l\sqrt3}2\)

\(a=\frac{6\sqrt3}2\)

\(a=3\sqrt3\ cm\)

Exercícios resolvidos sobre apótema

Questão 1

Uma pirâmide possui base quadrada com lado medindo 10 cm. Além disso, sua altura é de 12 cm. Então, a medida do apótema da pirâmide é igual a:

A) 12 cm

B) 13 cm

C) 14 cm

D) 15 cm

E) 16 cm

Resolução:

Alternativa B.

Para encontrar o apótema da pirâmide, primeiramente encontramos o apótema da sua base. Como a base é um quadrado de lado medindo 10 cm, o apótema da base é de 5 cm, ou seja a_b = 5. Também temos que h = 12. Aplicando o teorema de Pitágoras:

\(a^2=a_b^2+h^2\)

\(a^2=5^2+12^2\)

\(a^2=25+144\)

\(a^2=169\)

\(a=\sqrt{169}\)

\(a=13\ cm\)

Questão 2

Se um triângulo equilátero possui apótema medindo 8 cm, então a medida do lado desse triângulo é igual a:

A) \(8\sqrt3\)

B) \(12\sqrt3\)

C) \(16\sqrt3\)

D) \(24\sqrt3\)

E) \(48\sqrt3\)

Resolução:

Alternativa C.

Sabemos que o apótema de um triângulo equilátero é igual a:

\(a=\frac{l\sqrt3}6\)

Como o apótema é igual a 8:

\(8=\frac{l\sqrt3}6\)

\(8⋅6=l\sqrt3\)

\(48=l\sqrt3\)

\(\frac{48}{\sqrt3}=l\)

Racionalizando:

\(\frac{48}{\sqrt3}⋅\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=l\)

\(\frac{48\sqrt3}3=l\)

\(l=16\sqrt3\ cm\)