Área do losango

A área do losango é calculada tendo como base o comprimento das diagonais da figura. A fórmula utilizada calcula o produto entre a diagonal maior e a diagonal menor; o produto é dividido por dois, e o resultado equivale à área do losango. Essa fórmula pode ser descrita da seguinte forma: \(A=\frac{D\cdot d}{2}\).

Leia também: Como calcular a área do trapézio?

Resumo sobre a área do losango

• O losango é um quadrilátero que possui todos os lados congruentes.
• Os principais elementos do losango são as duas diagonais, os seus lados e os ângulos internos.
• O losango possui uma diagonal maior e uma diagonal menor.
• Para saber a área do losango, calculamos o produto entre as suas diagonais e dividimos esse produto por 2.

Quais são os elementos do losango?

Definimos como losango o quadrilátero que possui todos os lados congruentes, ou seja, lados com a mesma medida. Note que, no losango, os ângulos não precisam ser congruentes, mas somente os lados. O losango é um importante polígono que possui como principais elementos as suas diagonais, conhecidas como diagonal maior e diagonal menor, os ângulos internos, e os lados.

Os elementos do losango são suas diagonais, seus lados e seus ângulos internos.

\(\overline{AB},\overline{AE},\overline{BC},\overline{CE}\) são os lados do losango.

α, β, θ, γ  são os ângulos internos do losango.

\(\overline{AC},\overline{BE} \) são as diagonais do losango, com medidas representadas por D e d.

Nesse losango em particular, \(\overline{AC}\) é a diagonal maior e \(\overline{BE}\) é a diagonal menor.

Qual é a fórmula para calcular a área do losango?

A fórmula para calcular a área do losango é o produto entre a diagonal menor e a diagonal maior divido por 2.

\(A=\frac{D\cdot d}{2}\)

D →  diagonal maior

d →  diagonal menor

Veja também: Como saber quantas diagonais tem um polígono?

Como se calcula a área do losango?

Basta substituir o valor do comprimento das diagonais na fórmula e realizar o cálculo, como no exemplo a seguir.

Exemplo 1:

Qual é a área do losango que possui diagonal maior medindo 6 cm e diagonal menor medindo 4 cm?

Resolução:

Nesse caso, temos que:

D = 6 cm

d = 4 cm

Substituindo o valor na fórmula:

\(A=\frac{D\cdot d}{2}\)

\(A=\frac{6\cdot4}{2}\)

\(A=\frac{24}{2}\)

\(A=12\ \)

Então a área desse losango é de 12 cm.

Exemplo 2:

Calcule a área do losango na imagem a seguir:

Observe o valor das diagonais da figura.

Resolução:

Calculando a área do losango, temos que:

D = 16

d = 12

Substituindo na fórmula:

\(A=\frac{D\cdot d}{2}\)

\(A=\frac{16\cdot12}{2}\)

\(A=\frac{192}{2}\)

\(A=96\ cm^2\)

Então a área desse losango é de 96 cm².

Exemplo 3:

Se um losango possui diagonal menor medindo 18 cm, e área igual a 198 cm², qual é a medida da diagonal maior?

Resolução:

Sabemos que:

d = 18 cm

A = 198 cm²

Então, substituindo na fórmula, temos que:

\(A=\frac{D\cdot d}{2}\)

\(198=\frac{D\cdot18}{2}\)

\(198=D\cdot9\ \) 

\(\frac{198}{9}=D\)

\(22=D\)

Então a medida da diagonal maior desse losango é de 22 cm.

Saiba mais: Como calcular a área de figuras planas?

Exercícios resolvidos sobre a área do losango

Questão 1

Um agricultor precisa construir uma área com 1137,5 m² para realizar o plantio de determinada cultura. Durante os seus estudos, ele decidiu que essa região fosse determinada por um losango, com diagonal maior medindo 65 m. Nessas condições, a medida da diagonal menor deve ser de:

A) 30 m

B) 35 m

C) 40 m

D) 45 m

E) 50 m

Resolução:

Alternativa B

Para calcular a medida da diagonal menor, temos que:

A = 1137,5

D = 65

Substituindo na fórmula, temos que:

\(A=\frac{D\cdot d}{2}\)

\(1137,5=\frac{65\cdot d}{2}\)

\(1137,5\cdot2=65d\)

\(2275=65d\)

\(\frac{2275}{65}=d\)

\(d=35\ \)

Então a medida da diagonal menor é de 35 metros.

Questão 2

Se uma região delimitada por um losango possui diagonal maior medindo 21 metros, e a diagonal menor igual à terça parte da diagonal maior, então a medida da área desse losango é:

A) 73,5 m

B) 80,0 m

C) 85,5 m

D) 92,5 m

E) 147,0 m

Resolução:

Alternativa A

Sabendo que a diagonal maior mede 21 m e a menor é a terça parte da diagonal maior, então a diagonal menor é 21 : 3 = 7 metros. Assim:

D = 21

d = 7

\(A=\frac{D\cdot d}{2}\)

\(A=\frac{21\cdot7}{2}\)

\(A=\frac{147}{2}\)

\(A=73,5\ m²\)

A área é de 73,5 m².

Questão 3

Em um losango, a medida da sua diagonal maior é igual ao dobro da medida da sua diagonal menor. Sabendo que a sua área é de 81 cm², então podemos afirmar que a soma do comprimento da diagonal maior com o comprimento da diagonal menor é igual a:

A) 16

B) 18

C) 27

D) 36

E) 40

Resolução:

Alternativa C

Sabemos que:

D = 2d

Então temos que:

\(A=\frac{2d\cdot d}{2}\)

\(81=d^2\)

\(\sqrt{81}=d\)

\(9=d\)

Se d = 9, então D = 18. A soma 9 + 18 = 27.

Fontes

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume 3. 3. ed. São Paulo: Ática, 2011.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JR, José Ruy. A conquista da Matemática. Volume 3. 10. ed. São Paulo: FTD, 2014.