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Desvio-padrão

O desvio-padrão é uma medida de dispersão que indica quão homogêneos são os dados de um conjunto. Quando menor o desvio-padrão, menos dispersos são os dados.
Fórmula para cálculo de desvio-padrão em quadro-negro.
O desvio-padrão é uma medida de dispersão estudada na estatística

O desvio-padrão é uma medida de dispersão do conjunto. Quanto mais próximo de 0 for o desvio-padrão, menos dispersos são os dados do conjunto. A fórmula do desvio-padrão é:

\(D_p=\sqrt{\frac{∑^n_{i=1}(x_i-\bar{x})^2}{n}}\)

Leia também: Média, moda e mediana — três medidas estudadas na Estatística

O que é o desvio-padrão?

O desvio-padrão é uma medida de dispersão do conjunto, ou seja, uma medida que indica quão uniformes são os dados do conjunto. O desvio-padrão demonstra a distância dos valores em relação à média do conjunto, quanto mais próximo de 0 for o desvio-padrão, menos dispersos são os dados daquele conjunto. O desvio-padrão pode ser representado por \(D_p \) ou pela letra grega σ (sigma).

De modo geral, temos que:

  • Quanto maior o desvio-padrão, mais dispersos são os dados do conjunto (menos regular, menos homogêneo).

  • Quanto menor o desvio-padrão, menos dispersos são os dados do conjunto (mais regular, mais homogêneo).

Fórmula do desvio-padrão

A fórmula para calcular o desvio-padrão é:

\(D_p=\sqrt{\frac{∑^n_{i=1}(x_i-\bar{x})^2}{n}}\)

  • \(D_p\): desvio-padrão

  • n: quantidade de elementos no conjunto

  • \(x_i\): elementos do conjunto

  • \(\bar{x}\): média do conjunto

A fórmula diz que o desvio-padrão é a raiz quadrada da somatória da diferença entre cada um dos elementos do conjunto com a média, dividido pela quantidade de elementos do conjunto.

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Como calcular o desvio-padrão

Calcular o desvio-padrão é aplicar os resultados do conjunto na fórmula, entretanto, para deixar o cálculo mais simples, podemos seguir alguns passos, são eles:

  • 1º passo: calculamos a média dos dados do conjunto.

  • 2º passo: calculamos o quadrado da diferença de cada um dos elementos do conjunto em relação à média do conjunto.

  • 3º passo: calculamos a média dos resultados obtidos no passo anterior.

  • 4º passo: calcularmos a raiz quadrada do resultado obtido no passo anterior.

Exemplo 1:

Calcule o desvio-padrão do conjunto {7, 9, 10, 11, 13}.

Resolução:

Primeiro calcularemos a média do conjunto somando todos os elementos e dividindo pela quantidade de elementos. Podemos perceber que há cinco elementos nesse conjunto, logo, a média será:

\(\bar{x}=\frac{7+9+10+11+13}5=\frac{50}5=10\)

Agora calcularemos o quadrado da diferença entre cada um dos valores do conjunto e a média:

\((7 –10)^2=(-3)^2=9\)

\((9-10)^2=(-1)^2=1\)

\((10-10)^2=0^2=0\)

\((11-10)^2=1^2=1\)

\((13-10)^2=3^2=9\)

O próximo passo é calcular a média entre esses valores encontrados. Essa média é conhecida como variância do conjunto, representada por V.

\(V=\frac{9+1+0+1+9}5\)

\(V=\frac{20}5=4\)

Por fim, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, ou seja:

\(D_p=\sqrt4=2\)

Exemplo 2:

Encontre o desvio-padrão do conjunto {16, 18, 24, 30, 32, 35}.

Resolução:

Calculando a média:

\(\bar{x}=\frac{16+18+24+30+32+35}6=\frac{156}6=26\)

Agora calcularemos o quadrado da diferença entre os elementos do conjunto e a média:

\((16-26)^2=(-10)^2=100\)

\((18-26)^2=(-8)^2=64\)

\((24-26)^2=(-2)^2=4\)

\((30-26)^2=4^2=16\)

\((32-26)^2=6^2=36\)

\((35-26)^2=9^2=81\)

Agora calcularemos a variância, que é a média dos valores encontrados no passo anterior:

\(V=\frac{100+64+4+16+36+81}{6}=\frac{301}6=50,1666…\)

Por fim, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:

\(D_p=\sqrt{50,166…}≈7,08\)

Saiba mais: Medidas de dispersão: amplitude e desvio

Diferença entre desvio-padrão e variância

Para falar da diferença entre as duas, antes, é importante compreender que ambas são medidas de dispersão. Para calcular o desvio-padrão, antes, é necessário calcular a variância, pois o desvio-padrão nada mais é que a raiz quadrada da variância. Então podemos notar a diferença entre as duas na fórmula:

  • Fórmula do desvio-padrão

\(D_p=\sqrt{\frac{∑^n_{i=1}(x_i-\bar{x})^2}{n}}\)

  • Fórmula da variância

\(V=\frac{∑^n_{i=1}(x_i-\bar{x})^2}{n}\)

Note que a diferença está na raiz quadrada, pois temos que \(D_p=\sqrt{V}\).

Videoaula sobre desvio-padrão e variância

Exercícios resolvidos sobre desvio-padrão

Questão 1

(Enem – PPL) Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais se aproxima do tempo fornecido pelos organizadores em cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5 etapas, e o tempo médio de prova indicado pelos organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro, estão representados os dados estatísticos das 5 equipes mais bem classificadas.

Dados estatísticos das equipes mais bem classificadas (em minutos):

Quadro com dados estatísticos (média, moda e desvio-padrão) de equipes mais bem classificadas — questão Enem

Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe:

A) I

B) II

C) III

D) IV

E) V

Resolução:

Alternativa C

A equipe mais regular é aquela que possui menor desvio-padrão. Analisando a tabela, o menor desvio-padrão é encontrado na equipe III, logo, ela é a campeã.

Questão 2

(Enem) O procedimento de perda rápida de “peso” comum entre os atletas dos esportes de combate. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens” antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro.

Quadro com dados estatísticos (moda, mediana e desvio-padrão) de pesagem de atletas — questão do Enem

Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se enfrentariam na primeira luta. A primeira luta foi entre os atletas

A) I e III.

 B) I e IV.

 C) II e III.

 D) II e IV.

 E) III e IV.

Resolução:

Alternativa C

O lutador mais regular é aquele que possui menor desvio-padrão; no caso, é o III. O lutador menos regular é aquele que possui maior desvio-padrão; no caso, é o II. A primeira luta será realizada entre os lutadores II e III.

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira

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