Desvio-padrão

O desvio-padrão é uma medida de dispersão do conjunto. Quanto mais próximo de 0 for o desvio-padrão, menos dispersos são os dados do conjunto. A fórmula do desvio-padrão é:

\(D_p=\sqrt{\frac{∑^n_{i=1}(x_i-\bar{x})^2}{n}}\)

Leia também: Média, moda e mediana — três medidas estudadas na Estatística

O que é o desvio-padrão?

O desvio-padrão é uma medida de dispersão do conjunto, ou seja, uma medida que indica quão uniformes são os dados do conjunto. O desvio-padrão demonstra a distância dos valores em relação à média do conjunto, quanto mais próximo de 0 for o desvio-padrão, menos dispersos são os dados daquele conjunto. O desvio-padrão pode ser representado por \(D_p \) ou pela letra grega σ (sigma).

De modo geral, temos que:

Fórmula do desvio-padrão

A fórmula para calcular o desvio-padrão é:

\(D_p=\sqrt{\frac{∑^n_{i=1}(x_i-\bar{x})^2}{n}}\)

• \(D_p\): desvio-padrão

• n: quantidade de elementos no conjunto

• \(x_i\): elementos do conjunto

• \(\bar{x}\): média do conjunto

A fórmula diz que o desvio-padrão é a raiz quadrada da somatória da diferença entre cada um dos elementos do conjunto com a média, dividido pela quantidade de elementos do conjunto.

Como calcular o desvio-padrão

Calcular o desvio-padrão é aplicar os resultados do conjunto na fórmula, entretanto, para deixar o cálculo mais simples, podemos seguir alguns passos, são eles:

• 1º passo: calculamos a média dos dados do conjunto.

• 2º passo: calculamos o quadrado da diferença de cada um dos elementos do conjunto em relação à média do conjunto.

• 3º passo: calculamos a média dos resultados obtidos no passo anterior.

• 4º passo: calcularmos a raiz quadrada do resultado obtido no passo anterior.

Exemplo 1:

Calcule o desvio-padrão do conjunto {7, 9, 10, 11, 13}.

Resolução:

Primeiro calcularemos a média do conjunto somando todos os elementos e dividindo pela quantidade de elementos. Podemos perceber que há cinco elementos nesse conjunto, logo, a média será:

\(\bar{x}=\frac{7+9+10+11+13}5=\frac{50}5=10\)

Agora calcularemos o quadrado da diferença entre cada um dos valores do conjunto e a média:

\((7 –10)^2=(-3)^2=9\)

\((9-10)^2=(-1)^2=1\)

\((10-10)^2=0^2=0\)

\((11-10)^2=1^2=1\)

\((13-10)^2=3^2=9\)

O próximo passo é calcular a média entre esses valores encontrados. Essa média é conhecida como variância do conjunto, representada por V.

\(V=\frac{9+1+0+1+9}5\)

\(V=\frac{20}5=4\)

Por fim, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, ou seja:

\(D_p=\sqrt4=2\)

Exemplo 2:

Encontre o desvio-padrão do conjunto {16, 18, 24, 30, 32, 35}.

Resolução:

Calculando a média:

\(\bar{x}=\frac{16+18+24+30+32+35}6=\frac{156}6=26\)

Agora calcularemos o quadrado da diferença entre os elementos do conjunto e a média:

\((16-26)^2=(-10)^2=100\)

\((18-26)^2=(-8)^2=64\)

\((24-26)^2=(-2)^2=4\)

\((30-26)^2=4^2=16\)

\((32-26)^2=6^2=36\)

\((35-26)^2=9^2=81\)

Agora calcularemos a variância, que é a média dos valores encontrados no passo anterior:

\(V=\frac{100+64+4+16+36+81}{6}=\frac{301}6=50,1666…\)

Por fim, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:

\(D_p=\sqrt{50,166…}≈7,08\)

Saiba mais: Medidas de dispersão: amplitude e desvio

Diferença entre desvio-padrão e variância

Para falar da diferença entre as duas, antes, é importante compreender que ambas são medidas de dispersão. Para calcular o desvio-padrão, antes, é necessário calcular a variância, pois o desvio-padrão nada mais é que a raiz quadrada da variância. Então podemos notar a diferença entre as duas na fórmula:

• Fórmula do desvio-padrão

\(D_p=\sqrt{\frac{∑^n_{i=1}(x_i-\bar{x})^2}{n}}\)

• Fórmula da variância

\(V=\frac{∑^n_{i=1}(x_i-\bar{x})^2}{n}\)

Note que a diferença está na raiz quadrada, pois temos que \(D_p=\sqrt{V}\).

➝ Videoaula sobre desvio-padrão e variância

Exercícios resolvidos sobre desvio-padrão

Questão 1

(Enem – PPL) Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais se aproxima do tempo fornecido pelos organizadores em cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5 etapas, e o tempo médio de prova indicado pelos organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro, estão representados os dados estatísticos das 5 equipes mais bem classificadas.

Dados estatísticos das equipes mais bem classificadas (em minutos):

Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe:

A) I

B) II

C) III

D) IV

E) V

Resolução:

Alternativa C

A equipe mais regular é aquela que possui menor desvio-padrão. Analisando a tabela, o menor desvio-padrão é encontrado na equipe III, logo, ela é a campeã.

Questão 2

(Enem) O procedimento de perda rápida de “peso” comum entre os atletas dos esportes de combate. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens” antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro.

Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se enfrentariam na primeira luta. A primeira luta foi entre os atletas

A) I e III.

 B) I e IV.

 C) II e III.

 D) II e IV.

 E) III e IV.

Resolução:

Alternativa C

O lutador mais regular é aquele que possui menor desvio-padrão; no caso, é o III. O lutador menos regular é aquele que possui maior desvio-padrão; no caso, é o II. A primeira luta será realizada entre os lutadores II e III.