Média, moda e mediana

Moda, mediana e média são três medidas de posição, ou seja, com elas temos o posicionamento dos elementos dentro de um rol numérico. Essas medidas são utilizadas pela estatística, que é a parte da matemática que nos permite coletar dados com base em métodos específicos, tendo em vista conferir-lhes uma interpretação.

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Média

A média é dividida em dois casos: média aritmética e média ponderada, que nada mais é do que a média aritmética de elementos repetidos.

Tipos de média 

• Média aritmética

Considere o rol (x₁, x₂, x₃, ... x_n). A média aritmética (͞x) do seus n elementos é dada por:

͞x = x₁ + x₂ + x₃ + ... +x_n
                  n         

• Média ponderada

Imagine agora um rol em que o elemento x₁ aparece p vezes e o elemento x₂ aparece k vezes, e assim por diante, até chegarmos ao último elemento do rol x_n que aparece t vezes.

A média ponderada é a soma do produto das repetições, que chamamos de peso, pelos elementos do rol e tudo isso dividido pelo somatório dos pesos. Assim:

͞x = p · x₁  + k · x₂  + ... + t · x_n 
              p + k +...+ t       

Moda

Chamamos de moda o elemento que possui maior frequência no rol, isto é, que aparece mais vezes nele.

Mediana

Chamamos de mediana o elemento que está no centro do rol, ou seja, o elemento que o divide ao meio. Caso o rol tenha um número par de elementos, a mediana ocorrerá pela média aritmética dos dois elementos centrais. 

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Exercícios

Questão 1 - O dono de uma creche realizou um levantamento das idades de seus alunos, encontrando os seguintes anos: (2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 8). Determine a média, moda e mediana dessa sequência.

Solução

Antes de calcularmos a média, perceba que existem vários elementos do rol repetidos, então podemos usar a ideia de média ponderada (a média aritmética dá no mesmo resultado).

͞x  = 3 ·2 + 2 ·3  + 2 ·5  + 6 +7+8
             3 + 2 + 2+1 +1 +1      

͞x = 43
      10

x = 4,3

Assim, a idade média dos alunos é de 4,3 anos.

A idade que mais aparece é a de 2 anos, ou seja, ela é a que tem maior frequência, assim a moda é 2 anos.

Para calcularmos a mediana, perceba que o número de elementos do rol é par, logo, devemos pegar os dois elementos centrais e calcular a média aritmética entre eles.

Mediana = 3 + 5 = 4 anos.
                   2                 

Questão 2 - (Uece 2010) A média aritmética entre os divisores primos e positivos do número 2310 é:

a) 5,6

b) 6

c) 6,3

d) 6,7

Solução    

Realizando a decomposição em fatores primos do número 2310, obtemos:

2310 = 2 · 3 · 5 · 7 ·11

Assim a média aritmética dos divisores primos de 2310 é:

͞x = 2 + 3 + 5 + 7 +11
                5          

͞x = 28 = 5,6
      5        

R: Alternativa a