Média Aritmética

A média aritmética é uma medida estatística de posição, ou seja, ela nos fornece a posição de elementos que estão em um rol numérico. A média aritmética pode ser analisada em duas situações. A primeira delas é o caso em que o rol numérico não possui elementos repetidos. Nessa situação, nomeamos essa medida de posição como média aritmética simples. Nos casos em que o rol apresenta elementos repetidos, nomeamos essa medida como média aritmética ponderada.

Leia também: Média, moda e mediana – medidas de posição em estatística

Média aritmética simples

A média aritmética simples é utilizada em casos nos quais o rol numérico não apresenta nenhuma repetição. Para calcular o valor da média aritmética simples, devemos realizar o somatório de todos os elementos do rol e dividir essa soma pela quantidade de elementos.

Considere o rol composto por números reais {x₁, x₂, x₃, …, x_n}, e a média aritmética é representada por.

• Exemplo 1

Em um grupo de seis amigos, foram computadas suas idades. Determine qual a idade média desse grupo.

Idades {12, 13, 14, 16, 18,20}

Para determinar-se a média de idades desse grupo, devemos somar todos os números e dividir essa soma pela quantidade de elementos do rol, assim:

• Exemplo 2

Determine a média entre os números 4, 9, 12, 25.

Da mesma maneira, devemos somar os números e dividir a soma pela quantidade de elementos.

Média aritmética ponderada

A média aritmética ponderada é utilizada em casos nos quais o rol numérico apresenta repetições. Para calcular a média aritmética ponderada de um rol numérico, devemos realizar o mesmo processo utilizado na média aritmética simples, ou seja, somar todos os elementos do rol e dividir a soma pela quantidade de elementos.

Como alguns elementos repetem-se, poderemos escrever essas somas na forma de multiplicação. Veja como:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

Observe que o número 4 repete-se cinco vezes, assim, podemos escrever essa soma desta forma:

5 · 4 = 20

Considere um rol em que o elemento x₁ repete-se por k₁ vezes, x₂ repete-se por k₂ vezes, x₃ repete-se por k₃ vezes, x_n repete-se por k_n vezes. Para calcular a média aritmética ponderada, utilizamos a seguinte fórmula.

A quantidade de vezes que um elemento repete-se é chamada peso. Dessa forma, o elemento x₁ do rol possui peso k₁, o elemento x₂ possui peso k₂, e assim sucessivamente.

• Exemplo 3

Determine a média entre os números 2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 5.

Observe que os números repetem-se, assim, devemos multiplicar cada número pela quantidade de vezes que ele se repete, e isso deve ser feito com todos eles. Em seguida, devemos somá-los. A soma deve ser dividida pelo somatório dos pesos.

Leia também: Medidas de dispersão: amplitude e desvio

Diferença entre média aritmética e geométrica

Existe uma diferença entre a média aritmética e a média geométrica. A média aritmética é utilizada em casos nos quais não existe um crescimento sucessivo no rol, enquanto em casos que existe esse crescimento sucessivo é utilizada a média geométrica. Veja:

1. rol = {1, 2, 3, 4, 5}

Observe que o rol apresenta elementos sucessivos, logo, podemos utilizar a média geométrica.

2. rol = {1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3}

Veja que nesse rol aparecem elementos repetidos, assim, podemos utilizar a média aritmética ponderada. A média geométrica é utilizada principalmente em casos de problemas financeiros, para entender melhor, acesse: Média geométrica.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – O dono de uma creche realizou um levantamento das idades de seus alunos, encontrando as seguintes, em rol: (2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 8). Determine a média de idades.

Resolução

Vamos utilizar a média aritmética ponderada devido à repetição de elementos.

Assim, a idade média dos alunos é de 4,3 anos.

Para calcularmos a mediana, perceba que número de elementos do rol é par, logo, devemos pegar os dois elementos centrais e calcular a média aritmética entre eles.

Questão 2 – (Uece 2010) A média aritmética entre os divisores primos e positivos do número 2310 é:

a) 5,6

b) 6

c) 6,3

d) 6,7

Resolução

Inicialmente vamos realizar a decomposição em fatores primos do número 2310:

2310 = 2 · 3 · 5 · 7 ·11

Portanto, a média aritmética entre os fatores é dada por: