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Retas paralelas cortadas por uma transversal

Quando existem duas retas paralelas cortadas por uma transversal, é possível encontrar oito ângulos. Quando isso ocorre, é possível calcular o valor de cada um dos ângulos.
Retas paralelas cortadas por uma transversal
Retas paralelas cortadas por uma transversal

No estudo de retas, na geometria, é bastante recorrente que tenhamos retas paralelas cortadas por uma transversal, isto é, retas pertencentes a um mesmo plano e que possuem mesma inclinação e nenhum ponto em comum. Conhecendo duas retas paralelas, é possível traçar uma reta transversal às duas, ou seja, uma reta que corta as duas retas paralelas.

Quando traçamos essa reta transversal, é possível perceber que são formados oito ângulos, os quais possuem uma correspondência entre as suas medidas:

  • os ângulos colaterais são sempre suplementares;

  • os ângulos correspondentes de uma reta paralela com a outra são sempre congruentes; e

  • os ângulos alternos, tanto internos quanto externos, também são sempre congruentes.

Leia também: Como estudar geometria para o Enem?

Resumo sobre retas paralelas cortadas por uma transversal

  • Quando há duas retas paralelas cortadas por uma transversal, é possível traçar oito ângulos.

  • Esses ângulos se relacionam, sendo possível encontrar a medida de cada um deles utilizando a correspondência entre eles.

  • Ângulos correspondentes são congruentes.

  • Ângulos colaterais são suplementares.

  • Ângulos alternos internos ou alternos externos também são congruentes.

Videoaula sobre retas paralelas cortadas por uma transversal

O que são retas paralelas?

Em um mesmo plano, conhecemos como retas paralelas duas retas que possuem a mesma inclinação, mas não possuem nenhum ponto em comum. As retas paralelas nunca se cruzam, ou seja, têm a intersecção vazia.

Duas retas paralelas r e s
As retas r e s são paralelas.

Veja na imagem que a reta r é paralela à s. Para representar duas retas paralelas, utilizamos a seguinte notação: r//s (lê-se: a reta r é paralela à reta s).

O que é reta transversal?

Tendo um feixe de retas paralelas, conhecemos como reta transversal a reta que corta as retas paralelas.

Retas paralelas s e r cortadas pela reta transversal t.
Retas paralelas cortadas por uma transversal

Na imagem, as retas r e s são paralelas. Note que elas estão sendo cortadas por uma reta t, então dizemos que a reta t é uma reta transversal às retas paralelas.

Leia também: Noções primitivas de geometria: ponto, reta, plano e espaço

Propriedades de um feixe de retas paralelas cortado por uma transversal

Quando traçamos a transversal de retas paralelas, utilizamos conhecimento geométrico para criar uma relação entre os ângulos formados pelo encontro das retas paralelas e a reta transversal. Sabemos que retas paralelas possuem a mesma inclinação, o que nos permite criar essas relações importantes entre os ângulos.

Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal

Veja a seguir uma imagem com os ângulos formados entre as retas r e s e a transversal t.

Retas paralelas r e s cortadas pela reta transversal t e os ângulos formados em destaque.

Quando temos retas paralelas cortadas por uma transversal, como na imagem acima, podemos relacionar os ângulos formados com a reta r e com a reta s.

  • Os ângulos correspondentes são sempre congruentes

Congruência entre os ângulos correspondentes formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal

  • Os ângulos alternos externos são congruentes

Conhecem os como ângulos externos os ângulos que estão acima da reta r e abaixo da reta s.

Retas paralelas r e s cortadas pela reta transversal t e os ângulos externos em destaque.
Ângulos externos

Ângulos alternos externos são ângulos que se encontram em lados opostos em relação à reta t e eles sempre são congruentes.

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Retas paralelas r e s cortadas pela reta transversal t e os ângulos alternos externos formados em destaque
Ângulos alternos externos são congruentes.
  • Os ângulos alternos internos são congruentes

Conhecemos como ângulos internos os ângulos que estão acima da reta s e abaixo da reta r.

Retas paralelas r e s cortadas pela reta transversal t e os ângulos internos em destaque
Ângulos internos

Assim como os alternos externos, os ângulos são alternos internos quando eles estão em lados opostos em relação à reta t.

Retas paralelas r e s cortadas pela reta transversal t e os ângulos alternos internos formados em destaque
Ângulos alternos internos são congruentes.

Leia também: Ângulos alternos internos e externos

  • Ângulos colaterais são suplementares

Conhecemos como ângulos colaterais os ângulos que possuem um lado em comum. Nesse caso, os ângulos colaterais são sempre formados por um ângulo agudo e um ângulo obtuso, e eles sempre são suplementares, ou seja, a soma é igual a 180º.

Retas paralelas r e s cortadas pela reta transversal t e os ângulos colaterais formados em destaque

Para encontrar o valor do ângulo em situações envolvendo retas paralelas cortadas por uma transversal, como consequência das relações mostradas anteriormente, basta analisar quais são os ângulos que estamos comparando. Sabemos que são formados 4 ângulos agudos e 4 ângulos obtusos, então:

  • Os ângulos agudos são congruentes.

  • Os ângulos obtusos são congruentes.

  • Um ângulo agudo com um ângulo obtuso é sempre suplementar.

Exercícios resolvidos sobre retas paralelas cortadas por uma transversal

Questão 1 - (Itame) Na figura abaixo, as retas “r” e “s” são paralelas, cortadas por uma transversal “t”. Se a medida do ângulo alfa é o triplo da média do ângulo beta, então a diferença entre alfa e beta vale:

Enunciado de questão com duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

A) 90º

B) 85º

C) 80º

D) 75º

Resolução

Alternativa A.

Sabemos que α = 3ꞵ.

Como queremos comparar um ângulo agudo com um obtuso, a soma desses ângulos é igual a 180º, pois eles são suplementares, então:

α + ꞵ = 180

3ꞵ + ꞵ = 180

4ꞵ = 180

ꞵ = 180 : 4

ꞵ = 45.

Se ꞵ = 45, então α = 3ꞵ = 3 · 45 = 135º.

Logo, a diferença entre α e ꞵ = 135 – 45 = 90.

Questão 2 - (IFG – 2011) Supondo que a’//a e b’//b:

Questão com duas retas paralelas e duas retas transversais

Marque a alternativa correta.

A) x = 31º e y = 31º

B) x= 56º e y = 6º

C) x = 6º e y = 32º

D) x = 28º e y = 34º

E) x = 34º e y = 28º

Resolução

Alternativa B.

Sabemos que os ângulos agudos são congruentes, então:

x + y = 62→ I

Sabemos também que os ângulos obtusos são congruentes, logo:

2x + y = 118. → II

Para resolver esse sistema de equação, vamos isolar a incógnita y na equação I e substituir na II.

y = 62 – x

2x + y = 118
2x + 62 – x = 118
x = 118 – 62
x = 56

Sabendo que x= 56, então, para encontrar o valor de y, temos que:

x + y = 62

56 + y = 62

y = 62 – 56

y = 6

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
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