Noções primitivas de Geometria: ponto, reta, plano e espaço

As noções primitivas da Geometria são o modo como compreendemos os elementos matemáticos que dão base para a construção dos conhecimentos geométricos. Esses elementos são ponto, reta, plano e espaço. Explicar cada um deles não é tarefa fácil, pois temos apenas noções primitivas sobre esses elementos, ou seja, não existe uma definição precisa para eles.

Quando tentamos encontrar uma definição para elementos de uma figura ou sólido geométrico e, depois, a definição de elementos desses elementos e continuamos trilhando esse caminho, fatalmente chegaremos a uma dessas noções primitivas.

O cubo, por exemplo, é um sólido geométrico chamado de prisma reto cujos lados são todos quadrados. O quadrado, por sua vez, é uma figura geométrica que possui quatro lados congruentes e ângulos de 90°. Os lados de um quadrado são segmentos de reta. Já a reta é uma noção primitiva que não possui definição, mas possui características e propriedades.

Exemplo da trilha de definições dadas acima: cubo, quadrado, segmento de reta e reta

Sabendo disso, não é necessário pensar muito em como explicar esses elementos (ponto, reta, plano e espaço). O importante é conhecer sua utilidade para a Geometria e o modo como os sólidos e figuras comportam-se diante dessas noções primitivas.

Ponto

O ponto é um objeto que não possui definição, dimensão e forma. Por isso, é impossível encontrar qualquer medida nele, como comprimento, largura, altura, área, volume etc. O ponto é a base de toda a Geometria, pois é a partir de conjuntos deles que são formadas as figuras geométricas.

Usualmente representamos o ponto com um “pingo” ou uma bolinha, mas é importante saber que isso é apenas uma representação geométrica.

Os pontos são usados para representar localizações no espaço. Como não possuem tamanho ou forma, uma localização em algum espaço fica bem definida quando está em algum ponto.

Reta

Retas são conjuntos de pontos compreendidos como linhas infinitas que não fazem curvas. Embora sejam formadas por pontos, também não possuem definição, mas apenas essa característica. Obviamente, são necessários infinitos pontos para construir uma reta.

Nessa construção, note que é possível medir a distância entre dois pontos específicos que estão sobre uma reta. Entretanto, continua não sendo possível medir a largura da reta, pois os pontos que a formam não possuem dimensões. Por essa razão, dizemos que a reta é um objeto unidimensional, ou seja, que possui uma única dimensão.

Outras figuras unidimensionais são as semirretas e os segmentos de reta, que, respectivamente, são uma reta que possui começo, mas não possui fim, e uma parte da reta que possui ponto inicial e ponto final.

Exemplos de reta, semirreta e segmento de reta

Plano

Também não há definição para plano, entretanto, podemos estudar sua formação e algumas de suas características.

Assim como a reta é a figura formada pela justaposição de pontos, o plano é o objeto formado pelo enfileiramento de retas, do modo exemplificado na figura a seguir:

Enfileiramento de retas que forma um plano

Um plano, portanto, é um conjunto infinito e ilimitado de retas. Bons exemplos de pedaços de planos são encontrados em qualquer superfície reta, como a superfície de uma mesa, telas de smartphones, portas etc.

É dentro dos planos que são definidas as figuras geométricas bidimensionais, pois é como se o plano fosse uma “extensão perpendicular da reta”. Sendo assim, o plano é o objeto no qual as figuras construídas contam com a possibilidade de ter largura e comprimento.

Espaço

Assim como o plano é uma justaposição de retas no “sentido perpendicular”, o espaço é uma justaposição de planos “no sentido perpendicular”. Os planos são colocados um sobre o outro, de modo que dois planos não possuam nenhum ponto em comum, mas que estejam tão próximos a ponto de serem confundidos.

O espaço é o local onde toda a Geometria espacial acontece e faz sentido, onde todos os sólidos e figuras geométricas podem ser construídos. É todo o espaço que nos envolve e que segue infinita e ilimitadamente do ponto onde estamos para todas as direções.

Trata-se da extensão natural do plano para a terceira dimensão e, por isso, sólidos geométricos construídos no espaço podem ter profundidade, além de largura e comprimento.

A figura a seguir mostra um plano em perspectiva e um cubo sobre ele. Note que a face do cubo que toca o plano – um quadrado – possui largura e comprimento, mas a profundidade está além das dimensões aceitas por ele.