Elementos de uma esfera

As esferas são obtidas pelo giro de um semicírculo ao redor do diâmetro, por isso, são chamadas de sólido de revolução.

                                                                                              Esfera obtida pelo giro de um semicírculo em torno do seu diâmetro

Elementos de uma esfera

• Superfície esférica: é a parte superficial de uma esfera, justamente o conjunto de pontos cuja distância do centro é igual ao raio. Essa superfície pode ser obtida pela rotação de uma circunferência em torno do diâmetro. A área da superfície esférica pode ser calculada por meio da fórmula a seguir:

A = 4πr²

*r é o raio da esfera, e A é a medida da área.

Veja um exemplo:

Suponha que o raio de uma laranja seja de 6 cm. A área de sua superfície esférica (casca) será:

A = 4πr²

A = 4·3,14·6²

A = 12,56·36

A = 452,16 cm²

• Polos: são os pontos de encontro entre a superfície esférica e o eixo de rotação. Sendo assim, os polos são os dois pontos extremos do diâmetro da esfera.

• Paralelo: circunferência na superfície da esfera formada pela intersecção de qualquer plano perpendicular ao eixo de rotação e à superfície esférica. O paralelo que possui o maior comprimento é chamado de equador.

• Meridiano: circunferência na superfície da esfera formada pela intersecção de qualquer plano que contém o eixo de rotação com a superfície esférica.

Exemplo de paralelo e meridiano em uma esfera com eixo de rotação vertical

Secção em uma esfera

Uma secção é um “corte” realizado por um plano, ou seja, é a intersecção entre um plano e a figura que sofre a secção. Dessa maneira, toda secção em uma esfera é um círculo.

Para qualquer secção, vale a seguinte expressão:

s² = r² – d²

• s = raio do círculo formado pela secção;

• d = distância entre o plano da secção e o centro da esfera;

• r = raio da esfera.

O plano que faz uma secção em uma esfera é chamado de plano secante. Se esse plano secante passa pelo centro da esfera, o círculo formado na secção é chamado de círculo máximo.

Secção de uma esfera por meio de um plano secante

Fuso esférico

O fuso esférico é a parte da superfície de uma esfera formada pelo giro de uma semicircunferência em α graus em torno do diâmetro da esfera. Um fuso esférico é equivalente a um fuso horário. O fuso horário é a divisão de uma esfera em 24 partes e, assim, configura um fuso esférico formado por uma semicircunferência que girou apenas 15°.

Fuso esférico: rotação de uma semicircunferência em α graus

A intersecção de um fuso esférico com o equador de uma esfera é um arco de circunferência e é chamado de arco equatorial.

Para calcular a área do fuso esférico a partir do ângulo do giro da semicircunferência que o gerou, basta usar regra de três. Considere que o ângulo seja α, a área do fuso seja A e que a área total da esfera é dada por 4πr² e que é resultado de uma volta de 360°, podemos escrever:

360 = 4πr²
α        A 

Multiplicando cruzado, teremos:

360A = 4πr²α

A = 4πr²α
      360

A = πr²α
      90

Cunha esférica

Um semicírculo que gira α graus ao redor de algum eixo forma uma cunha esférica.

Cunha esférica: rotação de um semicírculo em α graus

O volume da cunha esférica também pode ser calculado por meio de regra de três. Considere que o ângulo descrito pelo semicírculo que gera uma cunha esférica é β, que seu volume é V, que o volume da esfera é determinado pela expressão 4/3πr³ e que, para esse volume, o semicírculo dá uma volta completa, de 360°, o volume da cunha esférica pode ser calculado da seguinte maneira:

4/3πr³ = 360
  V         β

Fazendo os cálculos, teremos:

V = βπr³
      270

Exemplo:

Calcule a área do fuso esférico que possui ângulo de 90° e raio de 10 cm. Além disso, calcule o volume da cunha esférica correspondente.

Solução: Basta usar as fórmulas para área do fuso esférico e volume da cunha esférica dadas anteriormente.

Área:

A = πr²α
       90

A = 3,14·10²·90
       90

A = 3,14·100

A = 314 cm²

Volume:

V = βπr³
      270

V = 90·3,14·10³
       270

V = 3,14·1000
       3

V = 3140
      3

V = 1046,7 cm³