Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é fundamental para compreendermos várias outras fórmulas da geometria analítica, a área da Matemática que analisa objetos geométricos no plano cartesiano, possibilitando estudar e desenvolver equações para tratar de forma algébrica os elementos geométricos.

Conhecemos como distância entre dois pontos A e B o comprimento do segmento de reta que liga esses dois pontos. Para calcular o comprimento desse segmento de reta, utilizamos uma fórmula deduzida do teorema de Pitágoras. Dados os pontos A(x_A, y_A) e B (x_B, Yb), para calcular a distância entre esses dois pontos, utilizamos a fórmula d_AB² = (x_B – x_A)² + (y_B – y_A)².

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Resumo sobre a distância entre dois pontos

• A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento que liga esses dois pontos.

• Utilizamos a distância entre dois pontos para desenvolver fórmulas e compreender melhor alguns elementos da geometria analítica.

• A fórmula para calcular a distância entre dois pontos é:

Videoaula sobre a distância entre dois pontos

O que é a distância entre dois pontos?

Quando representamos dois pontos no plano cartesiano, chamamos de distância entre os dois pontos o comprimento do segmento que une esses dois pontos. Vejamos no plano cartesiano a seguir a representação do segmento que liga o ponto A e B:

Para representar a distância entre os pontos A e B, utilizamos a notação d_AB.

Qual a fórmula da distância entre dois pontos?

Para calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano, utilizamos o teorema de Pitágoras. Dados os pontos A(x_A, x_B) e B(x_B, y_B), é possível construir um triângulo retângulo cuja hipotenusa seja exatamente o segmento AB.

Note que o triângulo representado no plano cartesiano é retângulo e possui catetos medindo (x_B – x_A) e (y_B – y_A). Além disso, a sua hipotenusa é o segmento AB, que a medida é dada pela distância entre os dois pontos, ou seja, d_AB. Então, para calcular a distância do ponto A até o ponto B, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para deduzir a fórmula da distância entre dois pontos a seguir:

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Cálculo da distância entre dois pontos

Para calcular a distância entre dois pontos, basta conhecermos as coordenadas de cada um dos pontos e substituir na fórmula.

Exemplo 1:

Calcule a distância entre os pontos A( 3,5) e B(6,1).

Substituindo os valores das coordenadas na fórmula:

Exemplo 2:

A distância entre o ponto C (2, y) e o ponto D (4,5) é igual a 3√3, então o valor de y é?

Sabemos que d_CD = 2√17, então temos que:

d_CD = √29

d_CD ² = √29²

d_CD ² = 29

d_CD² = (x_D – x_c)² + (y_D – yc)² = 29

(4 – 2)² + (5 – y)² = 29

2² + 25 – 10y + y² = 29

4+ 25 – 10y + y² =29

29 – 10y + y²= 29

y² – 10y = 29 – 29

y² – 10y = 0

y( y – 10) = 0

y = 0

ou

y– 10 = 0

y= 10

Então, as soluções possíveis são y = 10 ou y = 0.

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Exercícios resolvidos sobre a distância entre dois pontos

Questão 1 — Para mapear a cidade, os principais locais foram representados no plano cartesiano a seguir:

Analisando a imagem, a distância entre o banco e a igreja é de:

Resolução

Alternativa B.

Primeiro identificaremos as coordenadas do banco B( – 3, 2) e da igreja I(3, – 2).

Agora, substituindo na fórmula de distância entre dois pontos, temos que:

Questão 2 - (UFRGS) A distância entre os pontos A (-2,y) e B (6,7) é 10. O valor de y é:

A) -1
B) 0
C) 1 ou 13
D) -1 ou 10
E) 2 ou 12

Resolução

Alternativa C.

Como a distância do ponta A até o ponto B é 10, então:

d_AB² = (x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²

Sabemos que d_AB = 10 e podemos substituir também os valores das coordenadas dos pontos que já são conhecidos, logo:

10² = (6 – (–2) )² + (7 – y)²

100 = (6+2)² + 49 – 14y + y²

100 = 8² + 49 – 14y + y²

100 = 64 + 49 – 14y + y²

100 = 113 – 14y + y²

0 = – 100 + 113 – 14y + y²

0 = 13 – 14y + y²

Encontramos uma equação do 2º grau, logo calcularemos delta:

y² – 14y + 13 = 0

a = 1

b = – 14

c = 13

Δ = b² – 4ac

Δ = ( – 14) ² – 4 · 1 · 13

Δ = 196 – 52

Δ = 144

Agora utilizando a fórmula de Bhaskara: