Potências com expoente negativo

Quando aprendemos a operar potências, a primeira e mais simples regra que dominamos é que devemos sempre multiplicar a base por ela mesma quantas vezes indicar o expoente. Por exemplo, se temos a potência 2¹⁰, devemos multiplicar o 2 por 10 vezes da seguinte forma:

2¹⁰ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 1024

Mas e se o expoente for um número negativo? Como resolver a potência 2^{– 10}? Vejamos uma nova regra que ajudará na resolução de potências com expoente menor do que zero!

Dada uma potência x ^{– y}, com x e y reais, o seu resultado é igual ao inverso de x elevado a y.

Para compreender essa definição, precisamos primeiro compreender o que é o inverso de um número. Dado um número qualquer, seu inverso é a fração cujo numerador é 1, e o denominador é o próprio número. Por exemplo, o inverso de 5 é , e o inverso de 10 é . Mas qual é o inverso de uma fração? A ideia é a mesma! Vejamos a fração ½: para encontrar seu inverso, vamos colocá-la como denominador de uma fração em que o numerador é 1 e fazer uma simples divisão de fração:

Agora se você quiser simplificar mais ainda o processo para encontrar o inverso de uma fração, há uma dica infalível: basta inverter a fração, trocando o denominador de lugar com o numerador! Por exemplo, o inverso de ²/₅ é ⁵/₂, o inverso de ⁷/₃ é ³/₇ e o inverso de ¹/₄ é ⁴/₁, ou, simplesmente, 4.

Voltando para a pergunta do início do texto, vamos calcular o valor de 2^{– 10}.

Vejamos alguns outros exemplos de potências com expoente negativo e observe como esse assunto relaciona-se com a potenciação de números racionais:

1° Exemplo: 3 ^{– 2}

O inverso de 3 é ¹/_3. Logo, para calcular 3 ^{– 2}, faremos:

2° Exemplo: 10 ^{– 1}

O inverso de 10 é ¹/₁₀. Calculando 10 ^{– 1}, temos:

3° Exemplo: (³/₄) ^{– 3}

O inverso de ³/₄ é ⁴/_3. Então (³/₄) ^{– 3} será dado da seguinte forma:

4° Exemplo: (^{– 2}/₃) ^{– 4}

O inverso de ^{– 2}/₃ é ^{– 3}/₂. Calculando (^{– 2}/₃) ^{– 4}, teremos: