Multiplicação de frações

A multiplicação de frações é uma das operações básicas envolvendo fração. No caso da multiplicação entre duas frações, a multiplicação de fração é calculada multiplicando o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração. O numerador é o número que está na parte de cima da fração, e o denominador é o número que está na parte de baixo da fração.

Leia também: Adição e subtração de frações — como calcular?

Como fazer a multiplicação de frações?

Para compreender a multiplicação de fração, é importante lembrarmos o que é o numerador e o que é o denominador da fração.

\(\frac{a}{b}\)

• a → ocupa a posição do numerador da fração.
• b → ocupa a posição do denominador da fração.

Quando vamos realizar a multiplicação entre duas frações, de modo geral, multiplicamos “reto”, ou seja, multiplicamos o numerador da primeira pelo numerador da segunda e o denominador da primeira pelo denominador da segunda, formando uma nova fração:

\(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\)

Exemplos:

• \( \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}=\frac{2\cdot4}{3\cdot5}=\frac{8}{15}\)
• \( \frac{1}{6}\cdot\frac{7}{3}=\frac{1\cdot7}{6\cdot3}=\frac{7}{18}\)

Multiplicação de uma fração por um número inteiro

Existem alguns casos de multiplicação que podem gerar dúvida, mas a regra continua a mesma. Para multiplicar uma fração por um número inteiro, consideramos que o denominador do número inteiro é igual a 1. Como 1 é o elemento neutro da multiplicação, conservamos o denominador da fração e multiplicamos o número inteiro pelo numerador da fração.

Exemplos:

• \( \frac{3}{2}\cdot5=\frac{3\cdot5}{2}=\frac{15}{2}\)
• \( 12\cdot\frac{2}{5}=\frac{12\cdot2}{5}=\frac{24}{5}\)

Jogo de sinal na multiplicação de frações

O jogo de sinal das frações é o mesmo jogo de sinal que conhecemos para números inteiros. De modo geral, quando há um produto de números com sinais iguais, o resultado é positivo, e quando há um produto entre números com sinais diferentes, o resultado é positivo.

Exemplos:

• \( \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{4}{5}=-\frac{2\cdot4}{3\cdot5}=-\ \frac{8}{15}\)
• \( \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1\cdot1}{2\cdot3}=\frac{1}{6}\)

Simplificação de frações

Na multiplicação de frações, em alguns casos é possível realizar a simplificação da fração. Isso ocorre quando existir um número que divide simultaneamente o numerador e o denominador da fração. Veja o exemplo a seguir:

\(\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{2}=\frac{4\cdot3}{9\cdot2}=\frac{12}{18}\)

Analisando a fração encontrada, podemos perceber que 12 e 18 possuem divisores em comum, sendo eles 2, 3 e 6. Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por 6, podemos encontrar a fração irredutível, ou seja, que não pode ser simplificada:

\(\frac{{12}^{:6}}{{18}_{:6}}=\frac{2}{3}\)

Então, o produto dessas duas frações pode ser representado pela fração irredutível \(\frac{2}{3}\).

Veja também: Potenciação de frações algébricas — como calcular?

Exercícios resolvidos sobre multiplicação de frações

Questão 1

Resolva a multiplicação a seguir:

\(\frac{9}{5}\cdot\frac{15}{6}\)

A forma irredutível desse produto é igual à fração:

A) \(\frac{2}{3}\)

B) \(\frac{2}{9}\)

C) \(\frac{3}{2}\)

D) \(\frac{5}{4}\)

E) \(\frac{9}{2}\)

Resolução:

Alternativa E

Calculando o produto, temos que:

\(\frac{9\cdot15}{5\cdot6}=\frac{135}{30}\)

Simplificando a fração:

\(\frac{{135}^{:15}}{{30}_{:15}}=\frac{9}{2}\)

Questão 2

(Enem) A Música e a Matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.

Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for \(\frac{1}{2}\), poderia haver um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras.

Um trecho musical de oito compassos cuja fórmula é \(\frac{3}{4}\) pode ser preenchido com:

A) 24 fusas.

B) 3 semínimas.

C) 8 semínimas.

D) 24 colcheias e 12 semínimas.

E) 16 semínimas e 8 semicolcheias.

Resolução:

Alternativa D

Primeiramente, multiplicaremos 8 por \(\frac{3}{4}\):

\(8\cdot\frac{3}{4}=\frac{8\cdot3}{4}=\frac{24}{4}=6\)

Agora, verificaremos cada uma das alternativas para encontrar qual possui resultado igual a 6.

A) \(24\cdot\frac{1}{32}=\frac{24}{32}\neq6\)

B) \(3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\neq6\)

C) \(8\cdot\frac{1}{4}=2\neq6\)

D) \(24\cdot\frac{1}{8}+12\cdot\frac{1}{4}=\frac{24}{8}+\frac{12}{4}=3+3=6\)

E) \(16\cdot\frac{1}{4}+8\cdot\frac{1}{16}=\frac{16}{4}+\frac{8}{16}=4+0,5=4,5\neq6\)