Propriedades das potências

As propriedades das potências são aplicadas no estudo de potenciação de números reais. Essas propriedades são técnicas desenvolvidas com o objetivo de facilitar as operações entre os números que possuem expoentes, sendo muito úteis nas áreas de estudos da Física, Química e Biologia, além de serem também aplicadas constantemente no trabalho com notações científicas.

Existem várias propriedades aplicadas quando temos divisão ou multiplicação de potências de mesma base e potência de potência. Também há casos particulares estudados, como as potências de expoente um, expoente zero e expoente fracionário.

Leia também: Notação científica – o uso de potências de base dez para representar números

1ª propriedade – Multiplicação de potências de mesma base

Para simplificar a multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Exemplo 1:

5⁴· 5² = 5·5·5·5·5·5 = 5⁶

Logo, temos que:

5⁴· 5² = 5⁴⁺²=5⁶

Se necessário, é possível encontrar a potência de 5⁶ realizando a multiplicação sucessiva de 5 por ele mesmo 6 vezes, porém, no uso da propriedade, o interesse é representar a multiplicação de duas ou mais potências como uma potência só.

Exemplo 2:

2³ · 2⁵ · 2²=2³⁺⁵⁺²=2¹⁰

2ª propriedade – Divisão de potências de mesma base

Na divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos o expoente do numerador pelo expoente do denominador.

Exemplo 1:

Logo, temos que:

2⁸ : 2⁵ = 2^8-5 = 2³

Note que realizar a simplificação é bem mais prático do que resolver essas potências de forma separada e depois fazer a divisão. Como ressaltado anteriormente, a intenção das propriedades é simplificar e facilitar as contas com potências.

Exemplo 2:

3ª propriedade – Potência de potência

Ao calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

Exemplo 1:

(5³)² = (5 · 5 · 5)² = (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 5⁶

Logo, temos que:

(5³)² =5^{3 · 2} = 5⁶

Assim como as duas propriedades anteriores, a aplicação dessa propriedade ajuda a realizar essa operação de forma mais rápida

Exemplo 2

(4⁵)^-3 = 4^{5 · (-3)} = 4^-15

4ª propriedade – Potência de um produto

Dado um produto de dois números reais elevados a um expoente, podemos elevar cada um dos fatores a esse expoente.

Exemplo:

(2 · 4)³=(2 · 4)(2 · 4)(2 · 4) = 2 · 2 · 2 · 4 · 4 · 4 = 2³ · 4³

Logo, temos que:

(2 · 4)³ = 2³ · 4³

5ª propriedade – Potência do quociente

Conhecida como potência de um quociente e análoga à propriedade anterior, sempre que houver uma potência de um quociente, podemos calcular a potência do dividendo e a potência do divisor.

Exemplo:

(6 : 4)² = (6 : 4) · (6 : 4) = 6² · 4²

Logo, temos que:

(6 : 4)² =6² : 4²

Casos particulares de potência

Existem alguns casos particulares de potência que merecem ser ressaltados, já que conhecer cada um deles é tão importante quanto o domínio das próprias propriedades. São eles:

• potência de uma fração;

• potência de expoente igual a 0;

• potência de expoente igual a 1;

• potência com o expoente negativo;

• potência com expoente fracionário.

→ Potência unitária

Todo número elevado a um é ele mesmo.

Exemplos:

a) 123¹ = 123

b) 0,54¹ = 054

→ Potência de expoente zero

Todo número diferente de zero elevado a zero é igual a um. Nesse caso existe uma restrição para a base, pois a potência 0⁰ é uma indeterminação, ou seja, não possui uma resposta nos números reais, assim como a divisão do número zero.

Exemplos:

10⁰= 1
0,75⁰= 1
192392312⁰ = 1

→ Potência de uma fração

Como consequência da propriedade da potência de um quociente, lembrando que a fração é uma divisão, ao calcular uma potência de uma fração, podemos separar a potência desta forma:

Exemplos:

Leia também: Potências com expoente fracionário e decimal

→ Potência com um expoente negativo

Para calcular a potência de um expoente negativo, escrevemos o inverso da base e trocamos o sinal do expoente.

Quando a base da potência for um número inteiro, basta escrevermos um sobre a base.

Exemplo:

Quando a base for um número decimal, é necessário realizar a sua representação como uma fração. Quando a base é uma fração, para encontrar o inverso de uma fração, invertemos o numerador com o denominador.

Exemplo:

→ Potência com expoente fracionário

Quando o expoente é fracionário, podemos transformar essa potência em uma radiciação.

Exemplo:

Leia também: Resolvendo raízes por meio da fatoração

Exercícios resolvidos

1) Simplificando a expressão (a³ · b^{-7 ·} a²) : (a² · b^-4)², encontraremos:

a) a/b

b) ab

c) b

d) a²b

Resolução:

Letra B. Usando as propriedades de multiplicação de potência de mesma base, potência de potência e divisão de potência de mesma base, temos que:

(a³ · b^{-7 ·} a²) : (a² · b^-4)²
(a³⁺² · b^-5 ) : (a^2.2 · b^-4.2)
(a⁵ · b^-7 ) : (a⁴ · b^-8)
a^5-4 · b^{-7 - (-8)}
a¹ · b^{-7 +8}
a¹ · b¹
a .b

02) (IFG) O valor da expressão aritmética abaixo é equivalente a:

a) 8/17

b) -8/17

c) 16/17

d) -16/17

Resolução:

Letra D.

Resolvendo primeiro o numerador, temos que:

Agora vamos resolver o denominador:

Como temos uma divisão do numerador pelo denominador, vamos multiplicar pelo inverso da segunda fração: