Whatsapp icon Whatsapp

Primeira fórmula de Moivre

A primeira fórmula de Moivre é usada para calcular potências de números complexos na forma polar ou trigonométrica.
Representação da fórmula usada para calcular potências de números complexos
Representação da fórmula usada para calcular potências de números complexos

A primeira fórmula de Moivre é usada para calcular potências de números complexos na forma polar ou trigonométrica. Vale lembrar o que é a forma trigonométrica e como a multiplicação de números complexos nessa forma deve ser feita para compreender melhor a potenciação de números complexos em sua forma polar.

Números complexos na forma polar

Dado o número complexo z = a + bi, o ângulo α, formado pelo vetor que representa esse número com o eixo x no sentido anti-horário, é dado por:

cosα = a
           p

Nessa fórmula, p é o comprimento do vetor que representa o complexo z, também chamado módulo de z.

Além disso, esse mesmo ângulo também pode ser dado por:

senα = b
           p

Observe que:

b = senα·p

e que:

a = cosα·p

Tomando o complexo z = a + bi e substituindo nele as últimas duas expressões, temos:

z = cosα·p + senα·p·i

z = p(cosα + senα·i)

Essa é justamente a forma polar do complexo z.

Multiplicação de complexos na forma polar

Dados os números complexos z = p1(cosα + senα·i) e u = p2(cosβ + senβ·i), a multiplicação entre eles pode ser feita por meio da seguinte fórmula:

z·u = p1·p2[cos(α + β) + isen(α + β)]

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Essa multiplicação também pode ser feita quando houver três ou mais fatores.

Primeira fórmula de Moivre

A primeira fórmula de Moivre é usada para calcular potências de números complexos na forma polar. Lembre-se de que uma potência é um produto em que todos os fatores são o mesmo número, portanto, ao calcular z3, potência do número complexo z = a + bi, devemos fazer:

z3 = z·z·z

Lembrando que o complexo z, na forma polar, pode ser escrito como:

z = p(cosα + senα·i)

A mesma potência anterior pode ser escrita da seguinte maneira:

z3 = z·z·z = p·(cosα + senα·i)·p·(cosα + senα·i)·p·(cosα + senα·i)

z3 = p·p·p·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i) [equação I]

Expandindo os fatores (cosα + senα·i)·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i), por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado por meio das fórmulas de adição de arcos e das propriedades do número complexo i, encontraremos o seguinte resultado:

(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i) = cos(3α) + isen(3α)

Substituindo esse resultado na equação I, temos:

z3 = p3·[cos(3α) + isen(3α)]

O mesmo pode ser feito para a potência zn. O resultado será:

zn = pn·[cos(nα) + isen(nα)]

Essa é justamente a primeira fórmula de Moivre.

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos Relacionados

Forma Trigonométrica ou Polar de um Número Complexo
Escrevendo um número complexo na forma trigonométrica
Multiplicação de Números Complexos
Forma multiplicativa dos números complexos.
Norma ou módulo de um vetor
Clique para aprender o que é a norma ou módulo de um vetor e como o seu cálculo é realizado!
Números complexos
Clique e descubra o que são números complexos e entenda por que esse conjunto foi criado.
Transformações trigonométricas: fórmulas de adição
Clique aqui e descubra o que são e como podem ser usadas as transformações trigonométricas, métodos utilizados para realizar operações entre razões desse tipo. Aprenda as fórmulas de adição para calcular seno, cosseno e tangente da soma e subtração de dois arcos. Veja também exemplos com essas operações.
video icon
Professora ao lado do texto"Infligir ou infringir?".
Português
Infligir ou infringir?
Infligir ou infringir? As duas palavras existem na língua portuguesa, mas possuem significados distintos entre si: são chamadas, por isso, de parônimas. Assista a esta videoaula para aprender a diferenciá-las.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
videoaula brasil escola
Biologia
Transgênicos
Você sabe o que são alimentos transgênicos? Não se engane, eles estão mais presentes do que você imagina!
video icon
Videoaula Brasil Escola
Química
Alotropia
Não deixe de assistir nossa aula para fixar tudo o que você estudou sobre alotropia!
video icon
Videoaula Brasil Escola
Filosofia
Batman
Que tal assistir ao vídeo para uma análise ética sobre o herói?