Primeira fórmula de Moivre

A primeira fórmula de Moivre é usada para calcular potências de números complexos na forma polar ou trigonométrica. Vale lembrar o que é a forma trigonométrica e como a multiplicação de números complexos nessa forma deve ser feita para compreender melhor a potenciação de números complexos em sua forma polar.

Números complexos na forma polar

Dado o número complexo z = a + bi, o ângulo α, formado pelo vetor que representa esse número com o eixo x no sentido anti-horário, é dado por:

cosα = a
           p

Nessa fórmula, p é o comprimento do vetor que representa o complexo z, também chamado módulo de z.

Além disso, esse mesmo ângulo também pode ser dado por:

senα = b
           p

Observe que:

b = senα·p

e que:

a = cosα·p

Tomando o complexo z = a + bi e substituindo nele as últimas duas expressões, temos:

z = cosα·p + senα·p·i

z = p(cosα + senα·i)

Essa é justamente a forma polar do complexo z.

Multiplicação de complexos na forma polar

Dados os números complexos z = p₁(cosα + senα·i) e u = p₂(cosβ + senβ·i), a multiplicação entre eles pode ser feita por meio da seguinte fórmula:

z·u = p₁·p₂[cos(α + β) + isen(α + β)]

Essa multiplicação também pode ser feita quando houver três ou mais fatores.

Primeira fórmula de Moivre

A primeira fórmula de Moivre é usada para calcular potências de números complexos na forma polar. Lembre-se de que uma potência é um produto em que todos os fatores são o mesmo número, portanto, ao calcular z³, potência do número complexo z = a + bi, devemos fazer:

z³ = z·z·z

Lembrando que o complexo z, na forma polar, pode ser escrito como:

z = p(cosα + senα·i)

A mesma potência anterior pode ser escrita da seguinte maneira:

z³ = z·z·z = p·(cosα + senα·i)·p·(cosα + senα·i)·p·(cosα + senα·i)

z³ = p·p·p·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i) [equação I]

Expandindo os fatores (cosα + senα·i)·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i), por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado por meio das fórmulas de adição de arcos e das propriedades do número complexo i, encontraremos o seguinte resultado:

(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i)·(cosα + senα·i) = cos(3α) + isen(3α)

Substituindo esse resultado na equação I, temos:

z³ = p³·[cos(3α) + isen(3α)]

O mesmo pode ser feito para a potência zⁿ. O resultado será:

zⁿ = pⁿ·[cos(nα) + isen(nα)]

Essa é justamente a primeira fórmula de Moivre.