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Problemas com fração

A representação fracionária de um número é bastante recorrente na Matemática, logo, é fundamental o domínio das operações básicas com as frações para resolver problemas.
Mão retira parte de um círculo dividido em pedaços, fazendo referência ao conceito de fração.
Resolva problemas utilizando as operações básicas entre frações.

Problemas com frações são muito frequentes em provas diversas e podem ser resolvidos utilizando-se das operações básicas envolvendo esse tipo de número. Dessa forma, para resolver questões envolvendo frações, é fundamental o domínio das operações que as envolvem.

Leia também: Jogo de sinais — outro passo fundamental na hora de resolver cálculos

Como resolver problemas envolvendo frações

Para resolver problemas envolvendo fração, é importante lembrar que:

  • Na adição e subtração entre frações com denominadores iguais, conservamos o denominador e somamos/subtraímos o numerador. Exemplo:

\(\frac{3}8+\frac{2}8=\frac{3+2}8=\frac{5}8\)

  • Na adição e subtração entre frações com denominadores diferentes, é necessário calcular o mínimo múltiplo comum entre os denominadores da fração para igualá-los, e aí então realizar a soma dos numeradores. Exemplo:

\(\frac{3}5-\frac{1}4=\frac{12-5}{20}=\frac{7}{20}\)

  • Na multiplicação entre frações, basta calcular o produto entre seus numeradores e o produto entre seus denominadores. Exemplo:

\(\frac{2}5⋅\frac{3}7=\frac{2⋅3}{5⋅7}=\frac{6}{35}\)

  • Na divisão entre frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda fração. Exemplo:

\(\frac{4}5:\frac{7}2=\frac{4}5⋅\frac{2}{7}=\frac{4⋅2}{5⋅7}=\frac{8}{35}\)

Videoaula sobre problemas com frações

10 problemas com fração resolvidos

1. Durante o treinamento de vôlei, Mariana estava medindo o seu desempenho em saques. Sua meta era acertar a bola para depois da linha de 3 metros do campo adversário. Ao final do treino, constatou-se que, dos 50 saques feitos por ela, 35 deles atingiram a meta, então qual a fração que representa os acertos em relação ao total de saques?

Resolução:

Para representar a quantidade de acertos em relação ao número de saques, representaremos o total de acertos no numerador e o total de saques no denominador.

\(\frac{35}{50}\)

Para avaliar melhor o desempenho de Mariana, podemos simplificar a fração:

\(\frac{35^{:5}}{50_{:5}} =\frac{7}{10}\)

Assim, podemos concluir que ela acertou 7 de cada 10 saques, e a fração que representa os seus acertos foi \(\frac{7}{10}\).

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2. Um reservatório com capacidade de 18.000 litros está com \(\frac{3}5\) da sua capacidade ocupados com água. Qual é o volume de água que ainda cabe nesse reservatório?

Resolução:

Sabemos que esse reservatório foi divido em 5 partes, e que 3 dessas partes estão ocupadas. Então a fração que representa a capacidade restante desse reservatório é \(\frac{2}5\), pois restam 2 partes vazias.

Calculando \(\frac{2}5\) de 18.000, temos que:

\(\frac{2}5⋅18.000=\frac{36.000}5=7200\ l\)

Então ainda cabe no reservatório 7200 litros.

3. Em uma escola de ensino médio e fundamental, dos alunos frequentes, sabemos que \(\frac{2}9\) ficaram de recuperação ao final do ano, totalizando 144 estudantes de recuperação final. Então qual é o total de estudantes frequentes nessa escola?

Resolução:

Sabemos que 2/9 partes do total dos estudantes são iguais a 144, se dividirmos 144 por 2, temos que:

144 : 2 = 72

Logo, 2 de 9 partes do total dos alunos são 72. Como queremos calcular o total de estudantes, multiplicamos 72 por 9,72 ⋅ 9 = 648.

O total de alunos nessa escola é 648.

4. Ao receber o seu salário, Kárita dividiu esse dinheiro considerando suas contas. Com \(\frac{1}4\) do seu salário, ela pagou o aluguel da sua casa; com \(\frac{1}6\), ela fez as compras do mercado; e, com \(\frac{1}5\) do seu salário, ela pagou a energia, a água e a internet da sua casa. Qual é a fração que representa o que restou do seu salário?

Resolução:

Primeiro calcularemos a soma dessas frações para saber qual é a fração que representa o que ela gastou do seu salário:

\(\frac{1}4+\frac{1}6+\frac{1}5=\frac{15+10+12}{60}=\frac{37}{60}\)

Sabemos que ela gastou 37 partes do seu salário, se dividirmos ele em 60 partes, então a fração que representa o que sobrou do seu salário é: 60 – 37 = 23

\(\frac{23}{60}\)

5. Os bens deixados de herança para os três irmãos, Arnaldo, Aroldo e Afonso, foi divido de forma que: Arnaldo recebeu \(\frac{1}4\) da herança, Aroldo recebeu \(\frac{2}7\), e Afonso recebeu \(\frac{3}{11}\). O restante da herança ficou para a mãe deles, Dona Hermínia. Nessas condições, qual foi o filho que recebeu a maior parte da herança e o filho que recebeu a menor parte da herança?

Resolução:

Sempre que desejamos comparar frações, é conveniente transformá-las em números decimais.

Para comparar essas frações, elas serão transformadas em um número decimal dividindo o numerador pelo denominador:

\(Arnaldo: \frac{ 1}4=0,25\)

\(Aroldo: \frac{ 2}7≈0,28\)

\(Afonso: \frac{3}{11}≈0,27\)

Então quem recebeu a menor parte foi Arnaldo, e quem recebeu a maior parte foi Aroldo.

6. Em uma sala de aula, sabe-se que \(\frac{2}3\) dos estudantes não usam óculos de grau. Se nessa sala há 27 alunos, então qual a quantidade de alunos que usam óculos de grau nela?

Resolução:

Se \(\frac{2}3\) dos estudantes usam óculos, então \(\frac{1}3\) dos estudantes não usa óculos, logo, temos que:

\(32⋅\frac{1}3=\frac{27}3=9\)

7. A sala de aula de Pedro é composta por 42 estudantes. Desses 44 estudantes, 28 são meninas e 16 são meninos. Qual é a fração que representa a razão entre o número de meninos e o número de meninas?

Resolução:

Sabemos que, primeiro, teremos a quantidade de meninos no numerador e, depois, a quantidade de meninas no denominador, logo, a fração que representa essa situação é:

\(\frac{16}{28}\)

Note que é possível realizar a simplificação dela:

\(\frac{16^{:4}}{28_{:4}} =\frac{4}7\)

Então significa que há 4 meninos para cada 7 meninas nessa sala.

8. Em uma escola, foi feita uma pesquisa eleitoral com os estudantes, e constatou-se que \(\frac{2}5\) dos estudantes votariam no candidato A; metade dos estudantes votaria no candidato B; e os 34 estudantes restantes votariam nulo ou branco. Nessas condições, qual era a quantidade total de estudantes?

Resolução:

Seja x a quantidade total de estudantes, sabemos que:

\(x-\frac{2}5 x-\frac{1}2 x=34\)

Para somar as frações, calcularemos o mínimo múltiplo comum, então temos que:

\(\frac{10x-4x-5x}{10}=34\)

\(\frac{x}{10}=34\)

\(x=34⋅10\)

\(x=340 \)

9. (Enem - adaptada) Para construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14 m³ de concreto.

Qual é o volume de cimento, em m³, na carga de concreto trazida pela betoneira?

Resolução:

De modo geral, sabemos que o concreto é dividido em 1 + 4 + 2 = 7 partes. Sabemos também que o cimento é 1 dessas 7 partes, logo, a fração que representa a quantidade de cimento no concreto é  \(\frac{1}7\).

Como temos 14 m³ de concreto, calcularemos \(\frac{1}7\) de 14.

\(\frac{1}7⋅14=\frac{14}7=2\)

Então o volume do cimento necessário é 2 m³.

10. (Enem digital 2020 - adaptada) Um jogo pedagógico é formado por cartas nas quais está impressa uma fração em uma de suas faces. Cada jogador recebe quatro cartas e vence aquele que primeiro consegue ordenar crescentemente suas cartas pelas respectivas frações impressas. O vencedor foi o aluno que recebeu as cartas com as frações: \(\frac{3}5,\frac{1}4,\frac{2}3,\frac{5}9 \). A ordem que esse aluno apresentou foi:

Resolução:

Para encontrar a ordem das frações, podemos transformá-las em números decimais:

\(\frac{3}5=0,6\)

\(\frac{1}4=0,25\)

\(\frac{2}3=0,66...\)

\(\frac{5}9=0,55...\)

Analisando a representação decimal desses números, temos que:

\(\frac{1}4<\frac{5}9<\frac{3}5<\frac{2}3\)

Então a ordem correta é:

\(\frac{1}4,\frac{4}9,\frac{3}5,\frac{2}3\)

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
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