Representação geométrica da adição de números complexos

Todo número complexo está relacionado a um vetor no plano conhecido como plano de Argand-Gauss. Dessa forma, é possível realizar somas entre números complexos geometricamente e criar métodos geométricos para resolver outras operações envolvendo elementos desse conjunto numérico.

Para isso, precisamos entender como as somas de números complexos são feitas algebricamente e como esses números podem ser representados no plano de Argand-Gauss.

Veja também: Divisão de números complexos

Soma de números complexos e o plano de Argand-Gauss

Um número complexo z é aquele que pode ser escrito na forma z = a + bi, onde “a” e “b” são números reais e i = √(– 1). O termo “a” é chamada parte real do número complexo, e o termo “bi” é chamada parte imaginária.

Na adição de dois números complexos, devemos somar apenas seus termos semelhantes, isso é, parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.

Por exemplo, na soma dos números complexos u = 8 + 8i e v = – 6 – 4i, teremos:

u + v = 8 + 8i – 6 – 4i

u + v = 8 – 6 + 8i – 4i

u + v = 2 + 4i

O plano de Argand-Gauss é um plano cartesiano no qual o eixo x (horizontal) contém todos os valores possíveis para a parte real do número complexo, enquanto o eixo y (vertical) contém todos os valores possíveis para a parte imaginária. Dito isso, dado o complexo z = a + bi, o vetor com início na origem e fim no ponto (a, b) representa esse número complexo.

A imagem a seguir mostra o vetor w, resultado da soma u + v, apresentada no exemplo anterior. Assim, o vetor w representa geometricamente o complexo u + v = 2 + 4i.

Representação geométrica da soma de vetores

Para mostrar como a representação geométrica da soma de números complexos é feita, usaremos os vetores v = 2 + 8i e z = 3 – 2i como exemplo.

O primeiro passo é construir os vetores que os representam no plano de Argand-Gauss (vetores cinzas).

Posteriormente, traslade uma cópia v’ do vetor v para o ponto final do vetor z e uma cópia z’ do vetor z para o final do vetor v (vetores laranjas).

Observe que a traslação não rotaciona nem deforma os vetores, o que garante que eles possuam o mesmo comprimento e sejam paralelos aos vetores iniciais. Isso faz com que a figura formada pelos quatro vetores seja um paralelogramo.

Note que os vetores v’ e z’ encontram-se em um único ponto. O vetor que tem início na origem e finda nesse ponto é o vetor soma v + z (vetor vermelho).

A figura a seguir mostra a construção desse exemplo, onde v = 2 + 8i e z = 3 – 2i.

Note que o vetor soma é v + z = 5 + 6i e pode ser obtido por meio da construção feita nesse passo a passo.