Representação de subconjuntos por intervalos

Os conjuntos numéricos podem ser representados de diversas maneiras, e uma das mais importantes para a matemática é a representação por intervalos. Ela é capaz de mostrar em que ponto um conjunto começa e termina, ou seja, seu menor e maior elemento. Essa representação também pode indicar os números que não pertencem a esse conjunto, caso eles existam. Toda essa representação dos conjuntos numéricos é feita por símbolos.

Geralmente, a representação por intervalos é usada para demonstrar subconjuntos dos números reais, entretanto, ela também é igualmente útil quando envolve qualquer outro conjunto numérico.

Por exemplo: O subconjunto S dos números reais maiores que 5 e menores ou iguais a 10 é representado da seguinte maneira:

S = {x ε N/5 < x ≤ 10}

Sua representação por intervalos pode assumir ainda uma das duas formas a seguir:

S = (5,10]

ou

S = ]5,10]

As regras para usar essa representação são:

Regras da representação por intervalos

1 – Os símbolos ( ) indicam que os extremos daquele conjunto não estão incluídos nele;

2 – Os símbolos [ ] indicam que os extremos daquele conjunto estão incluídos nele;

3 – Os símbolos ][, virados para fora, indicam que os extremos daquele conjunto não estão incluídos nele.

Os símbolos que aparecem nas regras acima podem ser combinados de acordo com a necessidade e o gosto daquele que representa o conjunto.

1º Exemplo: O conjunto dos números reais entre – 7 e 4,2, inclusive os extremos.

S = [– 7; 4,2]

2º Exemplo: O conjunto dos números reais maiores que – 10 e menores que 60.

S = (– 10, 60)

3º Exemplo: – O conjunto dos números reais maiores ou iguais a – 2,45 e menores ou iguais a 3/8.

S = [– 2,45; 3/8]

4º Exemplo: – O conjunto dos números reais menores ou iguais a 7 e maiores que – 1/2.

S = ] – 1/2; 7]

Representação geométrica

É possível representar esses intervalos (subconjuntos) por meio da geometria. Para isso, basta se lembrar das retas numéricas: elas são o resultado de uma relação de cada ponto de uma reta com um número real. Assim, existe uma ordem entre os números, na qual, ao percorrer a reta para uma direção, os números reais sempre serão maiores e, na direção oposta, os números reais sempre serão menores.

Para usar essa representação, as regras são as seguintes:

1 – Identificar os extremos do subconjunto na reta;

2 – Marcá-los com bola aberta se pertencem ao conjunto ou com bola fechada se não pertencem;

3 – Sinalizar o interior desse intervalo pintando a parte da reta correspondente a ele.

Da mesma forma, podemos combinar bola aberta e fechada quando um dos extremos pertence ao conjunto e o outro não. Também existe a possibilidade do subconjunto ser definido de modo que alguns números no seu interior não pertençam a ele. Nesse caso, é só encontrar o ponto que representa esse número na reta numérica e sinalizá-lo com bola aberta. Caso o subconjunto possua um ponto além de suas extremidades, basta marcar esse ponto com bola fechada.

Para melhor compreensão dessas regras e de suas variações, observe os exemplos a seguir.

1º Exemplo: Intervalo [0, 5]

Perceba que os números 0 e 5 pertencem ao intervalo, por isso foram marcados com uma bola fechada.

2º Exemplo: Intervalo [–5, – 2[ ou [–5, –2).

Observe que números que não pertencem ao intervalo são representados com uma bola aberta.

3º Exemplo: Nesse exemplo, observe que é possível excluir pontos dentro do intervalo e adicionar pontos fora dele.