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Reta numérica dos números reais

Reta numérica é uma relação feita entre os números reais e uma reta qualquer na qual cada ponto da reta representa um único número real.

Uma reta numérica é uma reta na qual foram colocados todos os números reais. Essas retas são construídas com base no conceito de distância entre dois pontos, uma vez que toda distância é representada por um número real e quanto maior esse número, maior a distância que ele representa. Esse é justamente o conceito utilizado para a construção de uma reta numérica. Elas são usadas para medir distâncias e podem ser encontradas em objetos muito comuns como a régua ou a fita métrica.

A seguir, mostraremos como construir uma reta numérica e o modo como os números reais se comportam quando são representados nela.

Construção de uma reta numérica

Os passos que devem ser tomados, na ordem correta, para a construção de uma reta numérica são os seguintes:

1 – Tomar uma reta e, nela, escolher um ponto que representará o número real 0 (zero). Esse ponto será chamado de origem.

2 – Escolher um sentido para essa reta, chamado sentido positivo. Por exemplo, em uma reta horizontal, se escolhermos “da esquerda para a direita” como sentido positivo, um número que estiver mais à direita será maior que um número que estiver mais à esquerda.

Dessa maneira, o primeiro número inteiro que virá à direita do zero será 1, pois esse é o número inteiro imediatamente maior que zero e o primeiro número que virá à esquerda da origem é – 1, pois esse é o número inteiro imediatamente menor que zero.

3 – Escolher uma unidade de medida e usá-la para marcar os números na reta numérica. Esses números devem ser marcados da seguinte maneira: dada uma unidade de medida predefinida, medir a distância entre um ponto e a origem. A distância obtida será o número real relacionado àquele ponto.

Exemplo de reta numérica, com marcações de números inteiros e alguns números racionais
Exemplo de reta numérica, com marcações de números inteiros e alguns números racionais

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Para representar números racionais, escreva-os na forma decimal e os marque na reta numérica conforme o exemplo a seguir: 3,25 é um número formado por 3 inteiros e 25 centésimos. Logo, dividiremos o espaço entre 3 e 4 em 100 partes iguais e marcaremos a que representa 25, como na imagem acima.

Formalização e propriedades da reta numérica

O conceito que permite que as retas sejam relacionadas aos números é o de função. As retas numéricas são uma relação biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. Isso significa que cada ponto da reta é representado apenas por um número real e que cada número real representa apenas um número da reta. Essa relação pode ser comparada às funções bijetoras.

Os resultados dessa relação e da construção das retas numéricas, já discutido acima, são as seguintes propriedades:

  • Um número mais à direita é maior que um número mais à esquerda.

  • À esquerda da origem ficarão todos os números negativos.

  • Um número negativo sempre é menor que um número positivo.

Para essa última propriedade vale observar alguns exemplos:

O número + 20 é sempre maior que o número – 20, pois o primeiro está à direita do segundo. Também podemos dizer que o número + 20 é maior que qualquer número negativo, pois não existe número negativo à direita de + 20. Já a comparação entre dois números negativos, quanto maior o módulo do número menor o seu valor. Por exemplo: o número – 50 é menor que – 1, pois – 50, além de estar mais à esquerda, possui maior módulo.

A régua é um exemplo de reta numérica usada para medir pequenas distâncias
A régua é um exemplo de reta numérica usada para medir pequenas distâncias
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
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Lista de Exercícios

Questão 1

Em uma reta numérica são colocados todos os números de determinado conjunto. Sobre ela, assinale a alternativa correta:

a) A reta numérica é uma reta comum. Entre ela e os números reais, foi criada uma correspondência biunívoca em que cada ponto está relacionado com um único número real e vice-versa.

b) A reta numérica é uma reta na qual foram colocados todos os números reais de modo que os números mais à esquerda são maiores que os números mais à direita.

c) É chamado de origem o local onde a reta numérica nasce. Sendo assim, o menor número encontrado na reta é sua origem.

d) O número zero é nulo e, por isso, não está na reta numérica.

e) Os números inteiros são colocados na reta numérica de qualquer maneira. O importante é que entre eles estejam os números decimais.

Questão 2

A respeito dos números irracionais na reta numérica, assinale a alternativa correta:

a) Os números irracionais não podem ser marcados na reta numérica, pois não há espaço para eles.

b) Os números irracionais podem ser marcados na reta numérica ao final de cada intervalo e após os números decimais.

c) Os números irracionais podem ser marcados na reta numérica, mas devem estar próximos ao zero.

d) Os números irracionais não podem ser marcados na reta numérica, pois não existe representação fracionária para eles.

e) Os números irracionais podem ser marcados na reta numérica entre os números racionais mais próximos deles.

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