Soma dos ângulos externos de um polígono

Entre os elementos de um polígono, estão os lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos. Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo. Isso é resultado da definição dos ângulos externos, aliada a algumas propriedades envolvendo ângulos que serão discutidas mais adiante.

A soma dos ângulos internos varia de polígono a polígono, dependendo de seu número de lados. Assim, desde que convexos, os polígonos:

a) Que possuem três lados têm soma dos ângulos internos igual a 180°;

b) Que possuem quatro lados têm a soma dos ângulos internos igual a 360°;

c) Que possuem n lados têm a soma dos ângulos internos igual a (n – 2)180.

Definição de ângulo externo

Um ângulo externo é a abertura entre o prolongamento de um lado de um polígono e o lado adjacente a ele. Observe, por exemplo, os ângulos externos da figura a seguir:

Os ângulos assinalados com as letras gregas α, β, γ, δ e ε são externos, pois representam justamente a abertura entre um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente a ele.

Propriedades relacionando ângulos externos e ângulos internos

Perceba que sempre existe um ângulo interno que compartilha um lado de um polígono com um ângulo externo. Observe também que esses dois ângulos estão sempre sobre a mesma reta, já que o ângulo externo depende do prolongamento do lado do polígono. Dessa forma, garantimos que a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°. Em outras palavras:

Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele sempre são suplementares.

No pentágono regular acima, temos um ângulo interno e um externo. Como o pentágono é regular, cada um de seus ângulos internos mede 108°. Assim sendo, cada um de seus ângulos externos medirá 72°.

Observe que existem exatos cinco ângulos externos nesse polígono, e que todos medem 72° porque o polígono é regular.

5·72 = 360°

Demonstração

Independentemente de qual seja o polígono convexo e sua quantidade de lados, ou do fato de todos os lados possuírem medidas diferentes, cada ângulo interno (S_i), somado ao seu ângulo externo adjacente (A_i), deve ter como resultado 180°:

S_i + A_i = 180°

Seja S a soma de todos os ângulos internos e A a soma de todos os ângulos externos, em um polígono de n lados, temos também n ângulos internos e n ângulos externos. Assim:

S + A = 180·n

A soma dos ângulos internos nós já conhecemos, pois ela é obtida pela expressão: S = (n – 2)180. Substituindo S por essa expressão na equação anterior, temos:

S + A = 180n

(n – 2)180 + A = 180n

180n – 360 + A = 180n

Como queremos descobrir a soma dos ângulos externos de um polígono, isolaremos a incógnita A no primeiro membro:

180n – 360 + A = 180n

A = 180n + 360 – 180n

A = 360°

Portanto, fica demonstrado que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°.