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Tangente

Tangente é a função trigonométrica obtida quando dividimos o seno e o cosseno de um ângulo. A tangente de um ângulo é igual à divisão entre o cateto oposto e o adjacente.
Representação do comprimento da tangente de um ângulo no ciclo trigonométrico.
Representação do comprimento da tangente de um ângulo no ciclo trigonométrico.

A tangente é uma posição relativa de duas figuras geométricas, por exemplo, uma reta tangente à circunferência, ou duas circunferências tangentes uma à outra, entre outros. Geometricamente, tangenciar significa tocar em um único ponto.

De modo geral, a tangente de um ângulo é a divisão entre o seno e o cosseno desse ângulo. Podemos calcular também a tangente de um ângulo de um triângulo retângulo que é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Na trigonometria, a tangente é estudada como uma função. Ao desenharmos o círculo trigonométrico, assim como a reta tangente a ele, passando pelo ponto (1,0), é possível realizar o estudo da função tangente.

Leia também: Quais são as posições relativas de duas retas?

Resumo sobre tangente

  • A tangente é a posição de duas figuras geométricas quando possuem um único ponto em comum.
  • De modo geral, a tangente de um ângulo é a divisão entre o seno e o cosseno desse ângulo.
  • Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
  • As tangentes dos ângulos notáveis são:

\(tg\ 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(tg\ 45° = 1\)

\(tg\ 60°=\sqrt3\)

  • A tangente é estudada também como uma função trigonométrica.
  • O valor da função tangente de um ângulo pode ser obtido dividindo o seno pelo cosseno.
  • São três as principais razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente.

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O que é a tangente?

A tangente estudada na geometria é a posição de duas figuras geométricas quando possuem um único ponto em comum. Podemos ter uma reta tangente a uma circunferência, duas circunferências tangentes entre si, entre outras formas geométricas.

Ilustração de uma reta tangente à circunferência.
A reta é tangente à circunferência.

O ponto T é conhecido como ponto de tangência, o único ponto que a reta e a circunferência possuem em comum.

O que é a tangente de um ângulo?

A tangente de um ângulo é calculada quando construímos o ciclo trigonométrico de raio 1 e traçamos a reta que passa pelo ponto (1,0), conhecida como reta tangente ao ciclo. Considerando um ângulo α, a tangente desse ângulo é igual ao comprimento do segmento que liga o ponto (1,0), representado na imagem a seguir pelo ponto A até o ponto P.

Ilustração representando a tangente de um ângulo na construção do ciclo trigonométrico.
A tangente do ângulo é igual ao comprimento do segmento AP.

De modo geral, para todo ângulo no ciclo trigonométrico, ao traçarmos o segmento que vai da origem até o ponto P pertencente à reta tangente, encontraremos a tangente do ângulo calculando a distância entre o ponto A e o ponto P.

Tangente de um ângulo interno de um triângulo retângulo

A tangente de um ângulo interno do triângulo retângulo (que possui um ângulo reto) também é um cálculo bastante comum. Para que não seja necessário recorrer ao ciclo trigonométrico, encontramos o valor da tangente de um ângulo interno ao triângulo quando calculamos a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente a esse ângulo. Observe o triângulo retângulo a seguir:

Ilustração de um triângulo retângulo para cálculo da tangente de um de seus ângulos internos.

Para representar a tangente de um de seus ângulos, utilizamos as siglas tg ou então tan, logo, no triângulo representado acima, temos que:

\(tg\alpha=\frac{a}{b}\)

\(tg\beta=\frac{b}{a}\)

O que é a tangente dos ângulos notáveis?

A tangente dos ângulos notáveis é a tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º. O valor das razões trigonométricas desses ângulos é o mais utilizado para resolver situações-problema envolvendo a Matemática. Durante o estudo da trigonometria, o valor das razões trigonométricas desses ângulos é importante. Então temos que:

\(tg\ 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(tg\ 45°=1\)

\(tg\ 60°=\sqrt3\)

Função tangente

A função tangente é a função com lei de formação f(x) = tg(x), em que x é a medida do ângulo em radianos, e em que x é um número real e diferente de \(\frac{\pi}{2}+k\pi\). Como a tangente é a razão entre o seno e o cosseno, e o cosseno dos ângulos \(\frac{\pi}{2}+k\pi\) é igual a 0, para esses valores não é possível calcular o valor da tangente, pois estaríamos dividindo por 0.  

Representação gráfica da função tangente.
Representação gráfica da função tangente.

Razões trigonométricas

Existem três principais razões trigonométricas, são elas, o seno, o cosseno e a tangente:

  • Seno: é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de um triângulo.
  • Cosseno: é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa do triângulo.
  • Tangente: é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente do ângulo.
Ilustração indicando as três principais razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente.
Razões trigonométricas.

Veja também: Secante, cossecante e cotangente — as razões trigonométricas inversas ao seno, ao cosseno e à tangente

Exercícios resolvidos sobre tangente

Questão 1

Um triângulo retângulo possui lados medindo 8 cm, 6 cm e 10 cm. Se o cateto oposto ao ângulo x é o maior dos catetos, então podemos afirmar que a tangente do ângulo x é igual a:

A) \( \frac{5}{3}\)

B) \( \frac{3}{5}\)

C) \( \frac{3}{4}\)

D) \( \frac{4}{3}\)

E) \( \frac{2}{5}\)

Resolução:

Alternativa D

Como a hipotenusa é sempre o maior lado, então a sua medida é de 10 cm, portanto, sabemos que 8 cm é a medida do cateto oposto ao ângulo x. Já o cateto adjacente a esse ângulo mede 6 cm, então temos que:

\(tgx=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)

Questão 2

Duas circunferências foram desenhadas de modo que elas se tocam em um único ponto. Sobre a posição relativa dessas circunferências, podemos dizer que elas são:

A) concêntricas

B) concorrentes

C) coincidentes

D) tangentes

E) secantes

Resolução:

Alternativa D

Quando duas circunferências possuem um único ponto em comum, a posição relativa entre elas é de circunferências tangentes.

Fontes

CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Fundamentos de Trigonometria. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2007.

SANTOS, Manoel Ferreira dos; MAIA JR., Adolfo. Trigonometria para o Ensino Médio. São Paulo: Editora do Brasil, 2013.

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira

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