Transformações trigonométricas: fórmulas de multiplicação

Para iniciar a discussão sobre as fórmulas de multiplicação das transformações trigonométricas, é bom pensarmos em uma breve comparação: suponha que seja necessário encontrar o produto entre o ângulo de 30° e o número 2. O resultado desse produto será: 2·30° = 60°. Agora, façamos os cálculos para o seno de 30°:

Sen30° = 1/2

sen60° = sen2·30° = 1/2·1/2 = 1/4.

Entretanto, observe que o seno de 60° não é igual a 1/4. Isso acontece porque o método usado na multiplicação está incorreto, uma vez que o produto envolve os senos dos ângulos de 30° e não o ângulo em si.

As técnicas corretas para realizar essa multiplicação são parte do que conhecemos como transformações trigonométricas.

Seno

Sejam a e b considerados ângulos quaisquer, a fórmula usada para encontrar sen2a é:

sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa

Observe que, se b = a, então a + b = 2a, portanto:

sen2a = sena·cosa + sena·cosa

sen2a = 2sena·cosa

Note que podemos usar a fórmula relativa à adição do seno de dois arcos, substituindo a e b pelo mesmo ângulo, ou podemos usar esse último resultado para encontrar essa soma.

Cosseno

Considerando a e b como ângulos quaisquer, existem três fórmulas que podem ser usadas para determinar o cos2a. Todas elas têm como base os seguintes resultados:

cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb

e

sen²a + cos²a = 1

Observe que, se a = b, teremos cos2a, portanto:

cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb

cos2a = cosa·cosa – sena·sena

cos2a = cos²a – sen²a

Essa é uma das fórmulas que podem ser usadas para determinar cos2a. As outras são obtidas a partir do seguinte fato:

sen²a + cos²a = 1

sen²a = 1 – cos²a

Substituindo o valor do sen²a na fórmula do cos2a, teremos:

cos2a = cos²a – sen²a

cos2a = cos²a – (1 – cos²a)

cos2a = cos²a – 1 + cos²a

cos2a = 2cos²a – 1

Caso façamos uma substituição análoga, para cos²a = 1 – sen²a, teremos:

cos2a = cos²a – sen²a

cos2a = 1 – sen²a – sen²a

cos2a = 1 – 2sen²a

Tangente

Se a e b são ângulos quaisquer diferentes de 90°, a fórmula usada para encontrar tg2a é:

tg(a + b) =    tga + tgb  
                  1 – tga·tgb

Fazendo a = b, teremos:

tg(a + a) =    tga + tga   
               1 – tga·tga

tg2a =       2tga     
         1 – tg²a