Whatsapp icon Whatsapp

Transformações trigonométricas: fórmulas de multiplicação

As transformações trigonométricas são as fórmulas usadas para calcular a multiplicação de arcos de ângulos, como sen2a, cos2a e tg2a.
As transformações trigonométricas são fórmulas usadas para encontrar sen2a, cos2a e tg2a
As transformações trigonométricas são fórmulas usadas para encontrar sen2a, cos2a e tg2a

Para iniciar a discussão sobre as fórmulas de multiplicação das transformações trigonométricas, é bom pensarmos em uma breve comparação: suponha que seja necessário encontrar o produto entre o ângulo de 30° e o número 2. O resultado desse produto será: 2·30° = 60°. Agora, façamos os cálculos para o seno de 30°:

Sen30° = 1/2

sen60° = sen2·30° = 1/2·1/2 = 1/4.

Entretanto, observe que o seno de 60° não é igual a 1/4. Isso acontece porque o método usado na multiplicação está incorreto, uma vez que o produto envolve os senos dos ângulos de 30° e não o ângulo em si.

As técnicas corretas para realizar essa multiplicação são parte do que conhecemos como transformações trigonométricas.

Seno

Sejam a e b considerados ângulos quaisquer, a fórmula usada para encontrar sen2a é:

sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa

Observe que, se b = a, então a + b = 2a, portanto:

sen2a = sena·cosa + sena·cosa

sen2a = 2sena·cosa

Note que podemos usar a fórmula relativa à adição do seno de dois arcos, substituindo a e b pelo mesmo ângulo, ou podemos usar esse último resultado para encontrar essa soma.

Cosseno

Considerando a e b como ângulos quaisquer, existem três fórmulas que podem ser usadas para determinar o cos2a. Todas elas têm como base os seguintes resultados:

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb

e

sen2a + cos2a = 1

Observe que, se a = b, teremos cos2a, portanto:

cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb

cos2a = cosa·cosa – sena·sena

cos2a = cos2a – sen2a

Essa é uma das fórmulas que podem ser usadas para determinar cos2a. As outras são obtidas a partir do seguinte fato:

sen2a + cos2a = 1

sen2a = 1 – cos2a

Substituindo o valor do sen2a na fórmula do cos2a, teremos:

cos2a = cos2a – sen2a

cos2a = cos2a – (1 – cos2a)

cos2a = cos2a – 1 + cos2a

cos2a = 2cos2a – 1

Caso façamos uma substituição análoga, para cos2a = 1 – sen2a, teremos:

cos2a = cos2a – sen2a

cos2a = 1 – sen2a – sen2a

cos2a = 1 – 2sen2a

Tangente

Se a e b são ângulos quaisquer diferentes de 90°, a fórmula usada para encontrar tg2a é:

tg(a + b) =    tga + tgb  
                  1 – tga·tgb

Fazendo a = b, teremos:

tg(a + a) =    tga + tga   
               1 – tga·tga

tg2a =       2tga     
         1 – tg2a

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos Relacionados

A Lei dos Senos - compreendendo sua aplicação
Clique aqui e aprenda como e quando aplicar a lei dos senos!
Cálculo das razões trigonométricas
Utilizando as relações seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo.
Fórmulas do arco metade
Clique aqui e aprenda quais são e quando utilizar as fórmulas do arco metade.
Medidas de Ângulos
Clique aqui e aprenda a transformar as unidades de medidas de ângulos.
Seno, cosseno e tangente
Clique e aprenda o que é seno, cosseno e tangente, além de conferir alguns exemplos dessas razões trigonométricas!
Tabelas de razões trigonométricas
Clique para aprender a utilizar tabelas de razões trigonométricas e para descobrir os valores de seno, cosseno e tangente para ângulos agudos!
Transformações trigonométricas: fórmulas de adição
Clique aqui e descubra o que são e como podem ser usadas as transformações trigonométricas, métodos utilizados para realizar operações entre razões desse tipo. Aprenda as fórmulas de adição para calcular seno, cosseno e tangente da soma e subtração de dois arcos. Veja também exemplos com essas operações.
Ângulos
Clique para aprender o que são ângulos, como medi-los e algumas características dos ângulos notáveis.
video icon
Texto"Matemática do Zero | Condição de existência de triângulos" em fundo azul.
Matemática do Zero
Matemática do Zero | Condição de existência de triângulos
Nessa aula veremos a condição de existência de um triângulo utilizando um raciocínio lógico e em seguida formalizando esse conhecimento.