Ângulos opostos pelo vértice

Um ângulo é a medida da abertura formada por duas semirretas de mesma origem. Sendo assim, o encontro entre duas retas forma quatro ângulos. Observando-os dois a dois, é possível concluir que: ou esses ângulos estão lado a lado e, por isso, são adjacentes; ou se opõem um ao outro e, por isso, são chamados de opostos pelo vértice.

Na imagem acima, os ângulos adjacentes são α e β, β e θ, θ e λ, α e λ; os ângulos opostos pelo vértice são: α e θ e β e λ.

Propriedades

• Ângulos adjacentes são suplementares.

Isso significa que a soma das medidas desses ângulos é igual a 180°. Lembre-se de que a soma dos ângulos adjacentes é igual ao ângulo formado por uma reta.

• Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Duas figuras são congruentes quando suas medidas são iguais.

Observe que os ângulos α e β são adjacentes, assim como θ e β. Além disso, observe que α e θ são opostos pelo vértice. Sendo assim, podemos escrever as seguintes somas:

α + β = 180°
θ + β = 180°

180 = 180
α + β = θ + β
α = θ + β – β
α = θ

Como α e θ são iguais, podemos dizer que ângulos opostos pelo vértice possuem a mesma medida.

Exemplos

1º – Qual é a medida de cada ângulo na figura a seguir?

Solução:

Observe que o ângulo β é oposto pelo vértice ao ângulo 50°, logo, β = 50°. Como α e θ são opostos pelo vértice, também possuem medidas iguais. Para descobrir a medida de um deles, basta se lembrar da primeira propriedade: α e θ são adjacentes a 50°, por isso:

50 + α = 180

α = 180 – 50

α = 130°.

2º – Qual a medida de cada ângulo na figura a seguir?

Solução:

As equações representam medidas de ângulos opostos pelo vértice. Assim, podemos escrever:

8x – 90 = 4x – 10

8x – 4x = – 10 + 90

4x = 80

x = 80
      4

x = 20

Como queremos saber o valor de cada ângulo, devemos calcular um por um:

4x – 10 = 4·20 – 10 = 80 – 10 = 70°.

α + 70 = 180

α = 180 – 70

α = 110°

Como os outros dois ângulos são opostos pelo vértice a esses, suas medidas são iguais a 70° e a 110°.