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Retas perpendiculares

Duas retas t: x – y + 3 = 0 e u: x + y – 3 = 0 serão perpendiculares se possuírem um ponto comum e nesse encontro for formado um ângulo de 90°, veja o gráfico que demonstra essa perpendicularidade.




Se representarmos duas retas perpendiculares em um plano cartesiano e levarmos em consideração os seus coeficientes angulares, perceberemos que não é preciso representar duas retas no plano cartesiano para verificar se são perpendiculares ou não, basta comparar os seus coeficientes angulares.

As retas t e u, representadas no plano cartesiano acima, possuem os respectivos coeficientes angulares mt = 1 e mu = -1, considerando que a reta t foi formada pela união dos pontos (3,0) e (0,-3) e a reta u formada pelos pontos (3,0) e (0,3).

Comparando os dois coeficientes angulares iremos perceber que mt é o oposto inverso de mu.

mt = 1 e mu = -1.

Considere as retas perpendiculares r e s com os seguintes coeficientes angulares mr = 2 e ms = -1/2, elas serão consideradas perpendiculares, pois os valores de seus coeficientes é o oposto do inverso do outro.

Veja a demonstração da relação feita entre os coeficientes angulares de duas retas perpendiculares.

Considere duas retas perpendiculares v e p, veja a representação gráfica dessas duas retas:



O ângulo de inclinação da reta v será igual a β e o da reta p será 90° + β, pois é o ângulo externo ao triângulo formado pelo ponto de interseção das duas retas com o eixo Ox. Com essas informações podemos dizer que o coeficiente angular da reta v será mv = tg β e o coeficiente da reta p será mp = tg (90° + β), aplicando as fórmulas de adição de arcos teremos:

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tg (90° + β) = sen (90° + β)  
                         cos (90° + β)    

tg (90° + β) = sen90° . cos β + sen β . cos 90º 
                        cos90° . cos β – sen 90° . sen β

tg (90° + β) = cos β
                       -sen β

tg (90° + β) = - 1
                         tg β

Portanto, o coeficiente angular da reta p será: mp = -1 / tg β. Dessa forma podemos escrever que:
mv = tg β e mp = -1 / tg β, ou seja, duas retas serão perpendiculares se, somente se, seus coeficientes angulares forem iguais ao oposto do inverso do outro coeficiente.

Publicado por: Danielle de Miranda
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