Área da esfera
A esfera é um sólido geométrico proveniente da revolução (giro sobre um eixo) de um semicírculo sobre a reta que contém seu diâmetro (sua parte reta). Assim como os outros sólidos geométricos, é possível encontrar a área da superfície esférica, que é uma medida relacionada com a “casca” da esfera.
Tendo em mãos a fórmula usada para calcular a área da superfície esférica, podemos facilmente calcular a área do fuso esférico.
Esfera: sólido geométrico formado pela rotação de um semicírculo
Área da esfera
A área da esfera pode ser calculada por meio da expressão a seguir:
A = 4πr2
A é a área, e r é o raio da esfera.
Exemplo
Um artista plástico gostaria de colocar uma bola de isopor sobre uma de suas obras de arte, entretanto, será necessário pintá-la de vermelho. Sabendo que o metro quadrado de tinta vermelha custa R$ 150,00 e que o raio dessa bola mede 1 metro, calcule o valor que será gasto por esse artista.
Solução:
Basta calcular a área da esfera de isopor e multiplicar o resultado pelo preço por metro quadrado da tinta para encontrar o valor gasto na obra.
A = 4πr2
A = 4·3,14·12
A = 12,56·1
A = 12,56 m2
Área do fuso esférico
Os fusos esféricos são parcelas das superfícies esféricas que contêm os polos. Sendo assim, por meio de regra de três, é possível encontrar a área do fuso esférico, bastando para isso compará-lo com a superfície esférica.
O fuso esférico é obtido a partir de uma parte da rotação de uma semicircunferência
Considere:
A é a área da superfície esférica, α é o ângulo do fuso esférico e Af é sua área. Podemos calcular Af por meio de regra de três da seguinte maneira:
A = 360
Af α
Como queremos descobrir o valor de Af, multiplicaremos cruzado para encontrar:
A·α = Af·360
Af = A·α
360
Para encontrar uma fórmula que possa ser usada para calcular a área do fuso, basta substituir a área da esfera. Observe:
Af = A·α
360
Af = 4πr2·α
360
Af = πr2·α
90
A área do fuso pode ser calculada tanto pela fórmula acima quanto por regra de três. Em radianos, essa área pode ser obtida pela regra de três:
2πrad = 4πr2
α Af
Que é da onde vem a expressão a seguir:
Af = 2r2α
Exemplo
Calcule a área de um fuso esférico de ângulo 30° e cujo raio mede 2 metros.
Af = πr2·α
90
Af = 3,14·22·30
90
Af = 3,14·4·30
90
Af = 376,8
90
Af = 4,19