Combinação simples

A combinação é um dos tipos de agrupamentos estudados na análise combinatória. Está presente em várias situações do dia a dia, como nos jogos mais comuns de carta, por exemplo, truco, poker, nos jogos de loteria, entre várias outras situações cotidianas. Combinação são todos os subconjuntos que podemos formar com uma quantidade de elementos de um conjunto maior, por exemplo, todas as combinações possíveis com 5 cartas, entre as 52 cartas do baralho.

Na combinação se ressalta que a ordem não é importante, ou seja, o conjunto formado pelos elementos {A, B, C} é o mesmo independentemente da ordem desses elementos. Em um agrupamento, quando a ordem é importante, não estamos tratando de uma combinação, mas sim de um arranjo, sendo essa a principal diferença entre esses dois tipos de agrupamentos.

Leia também: O que é permutação simples?

Resumo sobre combinação simples

• A combinação é um tipo de agrupamento estudado na análise combinatória.

• Na combinação a ordem dos elementos não é relevante, ou seja, o agrupamento (A, B) e o agrupamento (B, A) são um único agrupamento.

• Para calcular todos as combinações possíveis de n elementos tomados de k em k, utilizamos a fórmula:

• Aplicamos as combinações em jogos da loteria, jogos de carta, entre outros vários problemas em que montamos agrupamentos não ordenados.

• No arranjo, diferentemente da combinação, a ordem dos elementos é relevante, ou seja, trocar os termos de ordem gera agrupamentos diferentes.

O que é combinação simples?

Você já se perguntou quantos resultados possíveis existem para o tão sonhado prêmio da loteria, ou então de quantas maneiras diferentes um time de vôlei pode ser formado com os jogadores convocados? Essas são algumas entre várias situações do dia a dia que podem ser respondidas por meio do estudo das combinações.

A combinação simples é estudada pela análise combinatória, que busca desenvolver técnicas de contagem para calcular a quantidade de agrupamentos não ordenados que podemos formar escolhendo uma quantidade de elementos de um conjunto. Por exemplo, para sabermos quantos resultados distintos podem haver para um sorteio de um determinado jogo de loteria, calculamos, com a combinação, quantos agrupamentos possíveis podemos formar com 6 números entre os números de 1 a 60.

No sorteio, a ordem não importa, independentemente de quais números sejam sorteados primeiro. O conjunto formado pelos 6 números é o que importa, e assim é para todas as combinações, ou seja, na combinação, a ordem dos elementos do agrupamento não é relevante, e a troca desses elementos de ordem não gera um novo agrupamento. Por exemplo, o resultado {2, 4, 6, 1, 5, 3} é o mesmo agrupamento que o {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Vejamos um exemplo simples, considerando que serão sorteados 2 números entre os 6 primeiros números naturais, vamos listar todas as combinações possíveis.

{1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {1, 5}; {1, 6}; {2, 3}; {2, 4}; {2, 5}; {2, 6}; {3, 4}; {3, 5}; {3, 6}; {4, 5}; {4, 6} e {5, 6}.

É importante lembrar que {1, 2} ou {2, 1}, por exemplo, na combinação simples, formam o mesmo agrupamento.

Então, nesse exemplo listamos todas as combinações possíveis, e, ao realizar a contagem, contamos quantas combinações existem de 6 elementos tomados de 2 em 2, o que deu um total de 15 combinações possíveis.

Acontece que nem sempre escrever essa lista é uma tarefa fácil, além disso, muitas vezes o interesse não está na lista em si, mas sim no total de combinações possíveis, e para isso existe uma fórmula.

Qual a fórmula da combinação simples?

De modo geral, calculamos o total de combinações possíveis de n elementos tomados de k a k, e, para realizar esse calculo, utilizamos a seguinte fórmula:

Lê-se: Combinação de n elementos tomados de k em k.

Veja também: 3 erros mais cometidos no cálculo de probabilidade

Passo a passo para calcular uma combinação simples

Para calcular o total de combinações possíveis, basta realizar a substituição na fórmula e calcular os fatoriais necessários.

Exemplo:

Calcule todas as combinações possíveis de 10 elementos tomados de 4 em 4.

1º passo: identificar o valor de n e de k e substituir na fórmula.

No caso temos n = 10 e k = 4.

2º passo: realizaremos a simplificação do fatorial, multiplicando o numerador pelos seus antecessores até chegar ao maior fatorial do denominador.

Nesse caso simplificaremos 10!, multiplicando 10 por seus antecessores até chegar a 6!, e fazendo a simplificação no numerador e no denominador.

3º passo: realizar a multiplicação do numerador e calcular o fatorial do denominador, e, posteriormente, realizar a divisão.

Desse modo, significa que existem 210 combinações possíveis para 10 elementos tomados de 4 em 4.

Diferença entre arranjo simples e combinação simples

Em situações que envolvem análise combinatória, é de grande importância compreender quando utilizaremos arranjo ou combinação para contar o total de agrupamentos possíveis. Para tomar essa decisão, basta analisar se na situação a ordem dos elementos gera novos agrupamentos ou não:

• Arranjo: situações que envolvem ordem;

• Combinação: situações cuja ordem não é relevante.

Vimos alguns exemplos de combinação ao decorrer do texto, agora vejamos alguns exemplos de arranjo: se existe uma disputa entre 10 atletas, de quantas maneiras distintas pode ser formado o pódio? De quantas maneiras uma pessoa pode montar uma senha sabendo que ela deve ter 4 dígitos, todos distintos? Note que, em ambas as situações, a ordem é importante.

Existem várias outras situações que podem ser resolvidas por meio da fórmula do arranjo, que é a fórmula a seguir:

• Videoaula sobre arranjo e combinação

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Enem) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de

A) uma combinação e um arranjo, respectivamente.

B) um arranjo e uma combinação, respectivamente.

C) um arranjo e uma permutação, respectivamente.

D) duas combinações.

E) dois arranjos.

Resolução

Alternativa A

Note que serão escolhidos dois agrupamentos. No primeiro será escolhido 4 times para compor o grupo A, note que, nesse caso, a ordem não é relevante, logo, trata-se de uma combinação.

Já no segundo agrupamento, o primeiro time jogará em seu próprio campo, o que torna a ordem relevante, então, será um arranjo.

Assim, temos uma combinação e um arranjo respectivamente.

Questão 2 - Como prêmio pelo grande sucesso da Rede Omnia, os funcionários participarão de um sorteio em que os vencedores serão contemplados com uma viagem de férias em um cruzeiro pelo litoral do nordeste brasileiro com tudo pago. Sabendo que 2 funcionários serão sorteados, e que participarão do sorteio 15 colaboradores, quantos são os resultados possíveis para esse sorteio?

A) 52

B) 105

C) 170

D) 215

E) 310

Resolução

Alternativa B

Calcularemos a combinação de 15 elementos tomados de 2 em 2.