Progressão aritmética
Entendemos como progressão aritmética (P.A.) uma sequência numérica que se comporta de forma linear. Após o primeiro termo, somamos um valor fixo denotado algebricamente por r. Para encontrar os próximos termos da sequência, sempre somamos r ao termo anterior, esse valor r é conhecido como razão de uma progressão aritmética.
A P.A. pode ser crescente, decrescente ou constante quando a razão for positiva, negativa ou nula, respectivamente. Além da classificação quanto ao comportamento, uma progressão pode ser classificada como finita ou infinita.
O estudo das progressões levou ao desenvolvimento de propriedades nessas sequências, há fórmulas específicas para o cálculo de um termo qualquer, conhecido como termo geral de uma P.A., e também para o cálculo da soma de todos os termos de uma progressão aritmética.
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O que é uma progressão aritmética?
É muito comum trabalharmos com sequências numéricas, ainda que consigamos prever os próximos termos, nem sempre a sequência pode ser classificada como uma progressão aritmética. Para isso, é necessário que exista uma razão e que, com base no primeiro termo, os termos posteriores sejam construídos a partir do termo anterior mais a razão.
Exemplo:
(2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23...)
Essa é uma sequência que pode ser classificada como progressão aritmética, pois a razão r = 3 e o primeiro termo é 2.
(1, 2, -2, 3, -3, 4, -4...)
Essa sequência não é uma progressão aritmética, por mais que ela tenha uma regularidade e a gente consiga prever os próximos termos, não há uma soma de uma razão que gere o próximo termo.
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Notação
Usamos como notação dos termos de uma sequência a letra an, em que n é o índice do elemento que indica a posição dele na sequência, por exemplo: a4 é o quarto termo de uma progressão. Assim, uma progressão de n termos é descrita por:
(a1, a2, a3, a4, a5,.. an-1, an)
Lembrando-nos da construção, se essa P.A. tiver razão r, temos que:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a4 = a3 + r
E assim sucessivamente.
Classificação de uma progressão aritmética
Além da classificação quanto ao comportamento, uma progressão pode ser finita, quando ela possui uma quantidade limitada de termos, ou infinita, quando ela possui quantidade infinita de termos. Uma progressão pode ser classificada como crescente, decrescente ou constante, e essa classificação depende diretamente do valor da razão r.
Para classificar a P.A., precisamos compreender o cálculo da razão. Dada a sequência, para encontrarmos a razão, basta fazer a subtração de um termo pelo seu antecessor. Quaisquer dois termos consecutivos da P.A. geram a razão, ou seja, a diferença de dois números consecutivos será sempre igual a r.
→ Crescente
(-9, -3, 3, 9, 15, 21)
r = 21-15 = 6
Essa é uma P.A. crescente de razão r = 6. Sempre que a razão for positiva, a P.A. será crescente. Note que o segundo termo é maior que o primeiro, o terceiro é maior que o segundo, e assim sucessivamente.
→ Constante
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
r = 1 – 1 = 0
Essa é uma P.A. constante de razão r = 0. Note que os termos são sempre iguais.
→ Decrescente
(10, 8, 6, 4, 2, 0, -2)
r = 8 – 10 = -2
Essa é uma P.A. decrescente, de razão r = - 2. Sempre que a razão for negativa, a progressão será decrescente.
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Termos de uma P.A.
Para encontrar os termos de uma progressão aritmética, utilizamos a fórmula:
an = a1+ r (n – 1)
n: número do termo
r: razão
Demonstração
Para deduzir a fórmula, precisamos lembrar que os termos a partir do segundo são dados por:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a3 = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
a4 = a1 + 3r
Utilizando a mesma ideia, temos que:
an = a1 + (n – 1) r
Exemplo 1
Encontre o 16º termo de uma P.A. que possui razão 3 e cujo primeiro termo é igual a 4.
Resolução:
an = a1 + (n – 1) r
Queremos o 16º termo, então n = 16. Além disso, sabemos que r = 3 e a1 = 4.
a16 = 4 + (16 – 1) 3
a16 = 4 + (15) 3
a16 = 4 + 45
a16 = 49
Exemplo 2
Qual é o primeiro termo de uma P.A. em que o termo do seu 12º termo é igual a 5 e a razão é -4.
Resolução
Dados r = -4 e a12 = 5
an = a1 + (n – 1) r
a12 = a1 + (12 – 1) (-4)
Mas sabemos que a12 = 5
5 = a1 + (12 – 1) (-4)
5 = a1 + 11 (-4)
5 = a1 -44
5 + 44 = a1
49 = a1
a1 = 49
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Termo geral de uma P.A.
Conhecidos o primeiro termo e a razão de uma progressão, a fórmula para encontrar termos quaisquer de uma sequência pode ser simplificada, gerando o que conhecemos como termo geral de uma P.A., que é uma fórmula que depende só de n para encontrar os termos da progressão.
Exemplo
Encontre o termo geral de uma P.A. que possui r = 2 e a1 = 3.
Resolução
an = a1 + (n – 1) r
an = 3 + (n – 1) 2
an = 3 + 2n – 2
an = 1 + 2n
Esse é o termo geral de uma P.A., que serve para encontrar qualquer termo dessa progressão.
Soma dos termos de uma P.A.
Outra fórmula importante é a soma dos n termos consecutivos da sequência. Com ela é possível calcular a soma dos n termos de uma P.A. conhecendo apenas o primeiro e o n-ésimo. Representada por Sn, é dada por:
Exemplo
Encontre a soma de todos os números pares de 2 até 100.
Resolução
Sabemos que a1 = 100, além disso, sabemos que an=100.
De 1 até 100, existem 100 números, sendo que metade deles são pares. Então, de 1 até 50, existem 50 termos, logo, n = 50.
Propriedades de uma P.A.
1ª propriedade
Dada uma progressão aritmética qualquer, e um termo ak, a média aritmética entre o seu sucessor e o seu antecessor é igual ao próprio termo ak..
Exemplo
(-1, 1, 3, 5, 7, 9,11)
Seja ak = 5, seu sucessor é 7 e seu antecessor é 3.
Essa propriedade é válida para qualquer termo da P.A.
De forma geral, seja ak um termo qualquer das sequências, a média dos termos que então se encontram na posição k – n e k + n é sempre igual ao termo ak.
Exemplo:
(-1, 1, 3, 5, 7, 9, 11)
Os números que estão na mesma distância de 5 sempre preservam a propriedade 01, como mostramos com o 3 e 7. Ela é válida também para os outros valores:
Ela vale também para os números -1 e 11:
2ª propriedade
A soma dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes dos extremos.
Muito parecida com a primeira propriedade, nesta olhamos a progressão aritmética formando pares entre o primeiro e o último termo, entre o segundo e o penúltimo termo, e assim sucessivamente. A soma desses pares é sempre a mesma.
Exemplo 1
Quantidade par de termos:
(3, 8, 13, 18, 23, 28)
Exemplo 2
Quantidade ímpar de termos
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13)
Quando a progressão possuir quantidade ímpar de elementos, ela possuirá um termo central. Note que a soma dele com ele mesmo também é igual à soma dos extremos da P.A.
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Qual é o 31º termo de uma progressão que possui razão 3 e cujo quarto termo é 21?
a) 100
b) 102
c) 12
d) 62
e) 52
Resolução
Alternativa b.
Sabemos que, para encontrarmos o termo da P.A., precisamos do primeiro termo e da sua razão.
1º Encontrar o termo a1, para isso vamos usar a informação que temos sobre o termo a4.
2º Agora que conhecemos a1 e r, vamos encontrar o termo a31.
Questão 2 - Calcule a soma de todos os números múltiplos de 3, de 0 até 150.
Resolução
Sabemos que se trata de uma progressão de razão 3, em que o primeiro termo é 0 e o último é 300. De 1 até 300, a cada três números, 1 é múltiplo de 3, logo, há 50 múltiplos de 3; incluindo-se o 0, há 51 números múltiplos de 3.