Proporção áurea

Proporção áurea é um conceito matemático que surge quando uma linha é dividida em duas partes de forma a obter-se uma razão especial entre os dois comprimentos.

A proporção áurea é representada pela letra grega fi (φ)

A proporção áurea é um conceito matemático que representa uma relação estética e harmônica que é considerada visualmente agradável. Essa proporção é obtida pela divisão de uma linha em dois segmentos de tal forma que a razão entre o comprimento total da linha e o comprimento do maior segmento seja igual à razão entre o comprimento do maior segmento e o comprimento do menor segmento.

É um conceito muito interessante de ser estudado, e pode ser aplicado na vida cotidiana em diversos aspectos, como na decoração da casa, na escolha de roupas, na composição de fotografias e na criação de trabalhos artísticos em geral.

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Resumo sobre proporção áurea

A proporção áurea é um conceito matemático que surge quando uma linha é dividida em duas partes de forma a obter-se uma razão especial entre os dois comprimentos.
Essa proporção representa uma relação estética e harmônica que é considerada visualmente agradável.
Em relação à proporção áurea, temos a seguinte relação:

Devido às suas propriedades estéticas únicas, a proporção áurea tem sido utilizada em diversas formas de arte, incluindo pintura, arquitetura e design gráfico.
Quando aplicada em trabalhos de design, a proporção áurea é utilizada para criar layouts harmoniosos e equilibrados que agradam aos olhos do espectador.

O que é a proporção áurea?

A proporção áurea é um conceito matemático que surge quando uma linha é dividida em duas partes de forma a obter-se uma razão especial entre os dois comprimentos. Esse conceito tem intrigado artistas, arquitetos, matemáticos e filósofos ao longo dos séculos, e seu apelo reside na sua aparente capacidade de criar harmonia e equilíbrio estéticos que transcendem culturas e épocas.

A proporção áurea vale aproximadamente 1,618 e é representada pela letra grega fi (φ). Ela tem sido explorada em uma variedade de campos, desde a arte e arquitetura mais renomadas até a estrutura intrincada de fenômenos naturais. Ao traçar um elo entre a beleza subjetiva e a ordem matemática, a proporção áurea continua a desafiar nossa percepção e compreensão do mundo que nos cerca.

Outras formas de se referir à proporção áurea são: divina proporção, razão áurea, número de ouro, seção áurea, proporção divina e razão extrema e média.

Como se calcula a proporção áurea?

A proporção áurea pode ser calculada de diferentes maneiras, mas uma das formas mais comuns é pela divisão de uma linha em dois segmentos, em que a razão entre o comprimento total da linha e o comprimento do maior segmento seja igual à razão entre o comprimento do maior segmento e o comprimento do menor segmento. Para realizar esse cálculo, a figura abaixo nos auxiliará.

Chamaremos o comprimento total da linha de x; o comprimento do maior segmento de a; e o comprimento do menor segmento de b. Sendo a igualdade entre as razões , a proporção áurea é dada pela seguinte fórmula:

Número de ouro

Para encontrar o comprimento da proporção áurea (ou número de ouro), vamos chamar ab de φ (esse é o nosso número de ouro). Separando a expressão de forma conveniente, temos . Dessa parte concluímos que . Isolando os termos e montando uma equação quadrática, temos: . Resolvendo essa equação quadrática pela fórmula de Bhaskara, temos:

Assim, temos:

Relação entre a proporção áurea e o retângulo de ouro

O retângulo de ouro é aquele que possui a razão entre o lado maior e o lado menor igual à proporção áurea (φ).

Um exemplo de retângulo de ouro é um retângulo com lado maior aproximadamente igual a 1,618 cm e o lado menor igual a 1 cm.

Importante: Sobre o retângulo de ouro é importante observar que suas interpretações estéticas podem variar culturalmente e não existe um consenso universal sobre sua aplicação. Embora tenha sido valorizado em várias épocas e contextos, diferentes culturas e períodos históricos também têm valorizado outras proporções e princípios estéticos.

Relação entre a proporção áurea e a sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é uma série numérica em que cada número subsequente é a soma dos dois números anteriores. Começa com os números 1 e 1, e depois os números seguintes são obtidos somando-se os dois números anteriores:

a₁ = 1

a₂ = 1

a₃ = 2 (resultado foi obtido da soma de a₁+a₂)

a₄ = 3 (resultado foi obtido da soma de a₂+a₃)

a₅ = 5 (resultado foi obtido da soma de a₃+a₄)

a₆ = 8 (resultado foi obtido da soma de a₄+a₅)

a₇ = 13 (resultado foi obtido da soma de a₅+a₆)

a₈ = 21 (resultado foi obtido da soma de a₆+a₇)

Essa sequência é infinita e pode ser definida de forma recursiva da seguinte maneira:

\( \begin{cases} a^1=1 & \\ a^2=1 & \\ a_n=a_{(n-1)}+a_{(n-2)},\ para\ n\geq3 \end{cases} \)

À medida que a sequência de Fibonacci avança, a razão entre números subsequentes se aproxima da proporção áurea, também conhecida como “número de ouro”. Essa relação é mais visível quando os números da sequência de Fibonacci são divididos:

Algumas aplicações da proporção áurea

Há alguns estudos que apontam para o uso da proporção áurea na obra de arte Homem vitruviano, de Leonardo da Vinci.

Proporção áurea no corpo humano
- Proporções faciais: algumas teorias afirmam que certas proporções faciais, como a distância entre os olhos e a largura da boca em relação ao comprimento do rosto, podem estar relacionadas à proporção áurea. Essas proporções são frequentemente citadas como marcadores de beleza em algumas culturas, embora a pesquisa científica não forneça uma evidência conclusiva para essa afirmação.
- Cabelos e unhas: algumas pessoas alegam que o crescimento do cabelo e das unhas pode seguir padrões relacionados à sequência de Fibonacci, embora a conexão seja mais uma curiosidade do que um princípio científico sólido.
- Proporções do corpo: em algumas teorias estéticas, a proporção áurea é aplicada a diferentes partes do corpo humano, como a relação entre o comprimento do braço e o comprimento da mão, ou a relação entre diferentes segmentos das pernas.
Proporção áurea na arte
- Composição pictórica: a proporção áurea é frequentemente utilizada na composição de obras de arte, como pinturas e fotografias. Os artistas podem dividir o espaço da obra de acordo com a proporção áurea para criar uma distribuição equilibrada de elementos visuais.

Proporção áurea na arquitetura
- Arquitetura e escultura: a proporção áurea tem sido usada em arquitetura e escultura para determinar proporções e dimensões de edifícios e esculturas. Muitas estruturas históricas, como o Parthenon em Atenas, foram projetadas de acordo com princípios da proporção áurea.
Proporção áurea no design
- Design gráfico: a proporção áurea pode ser usada para determinar a relação entre diferentes elementos em um layout, como imagens, texto e espaços em branco. Os designers podem dividir o espaço de acordo com a proporção áurea para criar uma composição equilibrada.
Proporção áurea na natureza
- Espiral Fibonacci: uma das manifestações mais conhecidas da proporção áurea na natureza é a espiral Fibonacci, também conhecida como espiral áurea. Essa espiral é formada conectando arcos curvos que têm um crescimento proporcional à sequência de Fibonacci. Ela é observada em conchas, como a concha de caracol, e em outras estruturas naturais, como os galhos de algumas plantas.
- Flores: muitas flores têm pétalas cujo número está relacionado à sequência de Fibonacci. Por exemplo, lírios muitas vezes têm três pétalas, margaridas têm 21 pétalas e muitas outras flores têm um número de pétalas que é um número de Fibonacci.

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Exercícios resolvidos sobre proporção áurea

Questão 1

Um pintor está planejando criar uma composição artística usando a proporção áurea para dividir a tela. A largura total da tela é de 100 centímetros. Determine as dimensões das duas seções, uma maior e uma menor, usando a proporção áurea.

Resolução:

A proporção áurea afirma que a razão entre a parte maior e a parte menor é φ (fi), aproximadamente 1,618.

Seja x a largura da parte menor da tela e y a largura da parte maior. Portanto, podemos escrever a proporção áurea como:

Substituindo o valor de φ, temos:

Isolando o y, temos que:

Sabemos que a largura total da tela é a soma das duas partes:

Substituindo o valor de y na equação acima:

Agora podemos resolver para x:

Agora que conhecemos o valor de x, encontraremos o valor de y:

Portanto, as dimensões das duas seções da tela são aproximadamente 38,19 cm (parte menor) e 61,81 cm (parte maior).

Questão 2

Um arquiteto está projetando um prédio e deseja que a altura da entrada principal siga a proporção áurea em relação à altura total do prédio. A altura total do prédio é de 150 metros. Determine a altura da entrada principal usando a proporção áurea.

A) 29,07 m

B) 67,34 m

C) 86,20 m

D) 92,70 m

E) 104,30 m

Resolução:

Alternativa D

A proporção áurea afirma que a razão entre a parte maior e a parte menor é φ (fi), aproximadamente 1,618.

Seja x a altura da entrada principal e y a altura da parte maior do prédio, podemos escrever a proporção áurea como:

Substituindo o valor de φ, temos:

Com base nisso, podemos isolar y em termos de .

Sabemos que a altura total do prédio é a soma das duas partes: